SPLTV Non Homogen

Perbedaan SPL Homogen dengan SPL Non homogen terletak pada nilai ruas kanan.

Untuk SPL Homogen nilai ruas kanannya nol semua, sedangkan SPL Non Homogen nilai ruas kanannya berupa konstanta.

Sedangkan persamaan keduanya yaitu nilai determinan mempengaruhi solusi akhir sistem persamaan linear.

Bentuk Umum

Bentuk umum Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Non Homogen:

\vspace{1pc} \large a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + a_{13}x_{3} = d_{1} \\ \vspace{1pc}  a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + a_{23}x_{3} = d_{2} \\ a_{31}x_{1} + a_{32}x_{2} + a_{33}x_{3} = d_{3}

Untuk mempermudah proses Eliminasi Gauss Jordan, koefisien a11-a33 diubah menjadi a-i, sehingga terbentuk matriks augmentasi:

\vspace{1pc}\left.\begin{matrix} Matriks\;A\end{matrix}\right|Ruas\;Kanan\\ \left [\left.\begin{matrix} a &b &c \\ d &e &f \\ g &h &i \end{matrix}\right|\begin{matrix} p \\q \\r \end{matrix}\right]

Solusi SPL

Terdapat dua kondisi dengan tiga solusi SPLTV Non Homogen, yaitu:

  1. Determinan A ≠ 0, maka SPL Non Homogen mempunyai solusi tunggal.
  2. Determinan A = 0, maka SPL Non Homogen mempunyai dua kemungkinan yaitu solusi banyak dan tidak mempunyai solusi.
Solusi Tunggal

Solusi tunggal yang dimaksud disini yaitu setiap variabel x, y, dan z mempunyai nilai masing-masing.

“Tunggal” tidak berarti ketiga nilai variabelnya harus sama (x = y = z), boleh saja dan seringkali ketiga nilai variabelnya berbeda-beda.

SPLTV Non Homogen dengan solusi tunggal sebenarnya sama saja dengan sistem persamaan linear tiga variabel biasa.

Cara penyelesaiannya menggunakan eliminasi, substitusi, Cramer, dan Gauss Jordan juga sudah sering dibahas.

Oleh karena itu, saya hanya akan menjelaskan secara singkat contoh soal SPLTV Non Homogen untuk solusi tunggal.

Contoh Soal Solusi Tunggal

Tentukan solusi sistem persamaan linear berikut ini!

\vspace{1pc} 3x+y-z=2 \\ \vspace{1pc} 2x-y+z=3 \\ x+y+z=6

Penyelesaian:

x = 1,\:y=2,\:z=3

Variabel x, y, dan z mempunyai nilai, maka SPLTV Non Homogen ini mempunyai solusi tunggal.




Solusi Banyak

Solusi Banyak maksudnya jika beberapa nilai variabel disubstitusikan kedalam persamaan maka hasil perhitungannya memenuhi sistem persamaan linear tersebut.

SPLTV Non Homogen dengan solusi banyak pada dasarnya terdiri dari dua persamaan asli dan satu persamaan semu.

Persamaan semu merupakan kelipatan atau penjumlahan

salah satu persamaan atau dua persamaan lainnya.

Melalui Eliminasi Gauss Jordan, persamaan semu dapat dikenali berupa baris matriks yang semua elemennya nol.

Contoh Soal Solusi Banyak

Tentukan solusi sistem persamaan linear berikut ini!

\vspace{1pc} 2x-4y-2z=4 \\ \vspace{1pc} -3x+5y+2z=6 \\ x-y=-10

Penyelesaian:

  1. Ubah menjadi matriks augmentasi.

\left [\left.\begin{matrix} 2 &-4 &-2 \\ -3 &5 &2 \\ 1 &-1 &0 \end{matrix}\right|\begin{matrix} 4 \\6 \\-10 \end{matrix}\right]

2. Hitung nilai determinan matriks A menggunakan metode Sarrus.

Jika determinan ≠ 0 maka SPLTV mempunyai solusi tunggal.

Dan jika determinan = 0, maka lanjut ke langkah 3.

\vspace{1pc}A=\begin{bmatrix} 2 &-4 &-2 \\ -3 &5 &2 \\ 1 &-1 &0 \end{bmatrix}\begin{matrix} 2 &-4 \\ -3 &5 \\ 1 &-1 \end{matrix}\\\vspace{1pc}\left | A \right |=\left(2\times 5\times 0\right)+\left(-4\times 2\times 1\right)+\left(-2\times -3\times -1\right)\\\vspace{1pc}-\left(-2\times 5\times 1\right)-\left(2\times 2\times -1\right)-\left(-4\times -3\times 0\right)\\\left | A \right |=0-8-6+10+4-0=0

3. Ubah elemen a menjadi satu.

\vspace{1pc}R1-R3\mapsto R1\\ \left [\left.\begin{matrix} 1 &-3 &-2 \\ -3 &5 &2 \\ 1 &-1 &0 \end{matrix}\right|\begin{matrix} 14 \\6 \\-10 \end{matrix}\right]

4. Ubah elemen d dan g menjadi nol.

\vspace{1pc}R2+3R1\mapsto R2\\\vspace{1pc}R3-R1\mapsto R3\\ \left [\left.\begin{matrix} 1 &-3 &-2 \\ 0 &-4 &-4 \\ 0&2 &2 \end{matrix}\right|\begin{matrix} 14 \\48 \\-24 \end{matrix}\right]

Ciri SPLTV Non Homogen mempunyai solusi banyak yaitu mempunyai dua baris yang nilainya sebanding.

Pada penyelesaian contoh soal diatas, baris kedua = -2x baris ketiga.

5. Ubah baris kedua atau ketiga menjadi nol.

\vspace{1pc}2R3+R2\mapsto R3\\ \left [\left.\begin{matrix} 1 &-3 &-2 \\ 0 &-4 &-4 \\ 0&0 &0 \end{matrix}\right|\begin{matrix} 14 \\48 \\0 \end{matrix}\right]

Langkah penyelesaian selanjutnya dapat dilakukan dengan 2 cara, yaitu variabel acuan = y dan variabel acuan = z.

Variabel Acuan = y

6. Ubah elemen c menjadi nol.

\vspace{1pc}R1-\frac{1}{2}R2\mapsto R1\\ \left [\left.\begin{matrix} 1 &-1 &0 \\ 0 &-4 &-4 \\ 0&0 &0 \end{matrix}\right|\begin{matrix} -10 \\48 \\0 \end{matrix}\right]

Variabel x Variael z
\vspace {1pc} x-y=-10\\x=-10+y \vspace {1pc} -4y-4z=48\\\vspace{1pc}-4z=48+4y\;\left | \div-4 \right |\\z=-12-y

Nilai variabel x dan z tergantung nilai variabel y, misal:

\vspace{1pc} y=-2\mapsto x=-12\;dan\;z=-10\\\vspace{1pc}y=0\mapsto x=-10\;dan\;z=-12\\\vspace{1pc}y=1\mapsto x=-9\;dan\;z=-13\\\cdots\;Dst.

Substitusikan salah satu nilai variabel ke salah satu persamaan.

\vspace{1pc}x=-10,\;y=0,\;dan\;z=-12\\\vspace{1pc}-3x+5y+2z=-3(-10)+5(0)+2(-12)=6

Variabel Acuan = z

6. Ubah elemen menjadi nol.

\vspace{1pc}R1-\frac{3}{4}R2\mapsto R1\\ \left [\left.\begin{matrix} 1 &0 &1 \\ 0 &-4 &-4 \\ 0&0 &0 \end{matrix}\right|\begin{matrix} -22 \\48 \\0 \end{matrix}\right]

Variabel x Variael y
\vspace {1pc} x+z=-22\\x=-22-z \vspace {1pc} -4y-4z=48\\\vspace{1pc}-4y=48+4z\;\left | \div-4 \right |\\y=-12-z

Nilai variabel x dan y tergantung nilai variabel z, misal:

\vspace{1pc} z=-2\mapsto x=-20\;dan\;y=-10\\\vspace{1pc}z=0\mapsto x=-22\;dan\;y=-12\\\vspace{1pc}z=1\mapsto x=-23\;dan\;y=-13\\\cdots\;Dst.

Substitusikan salah satu nilai variabel ke salah satu persamaan.

\vspace{1pc}x=-20,\;y=-10,\;dan\;z=-2\\\vspace{1pc}2x-4y-2z=2(-20)-4(-10)-2(-2)=4

Coba substitusikan beberapa nilai variabel lainnya, hasil perhitungannya akan memenuhi SPLTV tersebut.

Tidak Mempunyai Solusi

Jenis SPLTV Non Homogen ini sebenarnya terdiri dari tiga persamaan dengan dua variabel.

Sedangkan salah satu variabelnya merupakan variabel semu yang diperoleh dari kelipatan atau penjumlahan dua variabel lainnya.

Selain itu, salah satu persamaannya mempunyai nilai variabel yang tidak konsisten dengan dua persamaan lainnya.

Contoh Soal “Tidak Mempunyai Solusi”

Tentukan solusi sistem persamaan linear berikut ini!

\vspace{1pc} 4x-4y+6z=0 \\ \vspace{1pc} 2x+6y-z=-8 \\ 3x+3z=-6

Penyelesaian:

  1. Ubah menjadi matriks augmentasi.

\left [\left.\begin{matrix} 4 &-4 &6 \\ 2 &6 &-1 \\ 3 &0 &3 \end{matrix}\right|\begin{matrix} 0 \\-8 \\-6 \end{matrix}\right]

2. Hitung nilai determinan matriks A menggunakan metode Sarrus.

Jika determinan ≠ 0 maka SPLTV mempunyai solusi tunggal.

Dan jika determinan = 0, maka lanjut ke langkah 3.

\vspace{1pc}A=\begin{bmatrix} 4 &-4 &6 \\ 2 &6 &-1 \\ 3 &0 &3 \end{bmatrix}\begin{matrix} 4 &-4 \\ 2 &6 \\ 3 &0 \end{matrix}\\\vspace{1pc}\left | A \right |=\left(4\times 6\times 3\right)+\left(-4 \times -1\times 3\right)+\left(6\times 2\times 0\right)\\\vspace{1pc}-\left(6\times  6\times 3\right)-\left(4\times -1\times 0\right)-\left(-4\times 2\times 3\right)\\\left | A \right |=72+12+0-108+24+0=0

3. Ubah elemen a menjadi satu.

\vspace{1pc} R1-R3\mapsto R1\\ \left [\left.\begin{matrix} 1 &-4 &3 \\ 2 &6 &-1 \\ 3 &0 &3 \end{matrix}\right|\begin{matrix} 6 \\-8 \\-6 \end{matrix}\right]

4. Ubah elemen d dan g menjadi nol.

\vspace{1pc}R2-2R1\mapsto R2\\\vspace{1pc}R3-3R1\mapsto R3\\ \left [\left.\begin{matrix} 1 &-4 &3 \\ 0 &14 &-7 \\ 0&12 &-6 \end{matrix}\right|\begin{matrix} 6 \\-20 \\-24 \end{matrix}\right]

Ciri SPLTV Non Homogen yang tidak mempunyai solusi yaitu mempunyai matriks bagian utama (submatriks prinsipal) yang dua kolomnya sebanding.

Pada penyelesaian contoh soal diatas, submatriks prinsipal A11 diperoleh dengan menghilangkan baris pertama dan kolom pertama matriks A.

\vspace{1pc}A=\begin{bmatrix} \ddots &\cdots &\cdots \\ \vdots &14 &-7 \\ \vdots &12 &-6 \end{bmatrix}\\\vspace{1pc} A_{11}=\begin{bmatrix} 14&-7 \\ 12&-6\end{bmatrix}\\Kolom\;Pertama = -2\times Kolom\;Kedua

Langkah selanjutnya menggunakan Operasi Kolom Elementer terbagi menjadi dua cara, yaitu variabel acuan = y dan variabel acuan = z.

Variabel Acuan = y

5. Ubah elemen f dan i menjadi nol.

\vspace{1pc}C3+\frac{1}{2}C2\mapsto C3\\\vspace{1pc} \left [\left.\begin{matrix} 1 &-4 &1 \\ 0 &14 &0 \\ 0&12 &0 \end{matrix}\right|\begin{matrix} 6 \\-20 \\-24 \end{matrix}\right]

Sehingga diperoleh:

\vspace{1pc}x-4y+z=6\\\vspace{1pc}14y=-20\mapsto y=-\frac{10}{7}\\12y=-24\mapsto y=-2

Variabel Acuan = z

5. Ubah elemen e dan h menjadi nol.

\vspace{1pc}C2+2C3\mapsto C2\\\vspace{1pc} \left [\left.\begin{matrix} 1 &2 &3 \\ 0 &0 &-7 \\ 0&0 &-6 \end{matrix}\right|\begin{matrix} 6 \\-20 \\-24 \end{matrix}\right]

Sehingga diperoleh:

\vspace{1pc}x+2y+3z=6\\\vspace{1pc}-7z=-20\mapsto z=\frac{20}{7}\\-6z=-24\mapsto z=4

Meskipun salah satu variabel y atau z disubstitusikan ke dalam persamaan, namun tetap saja dua nilai variabel lainnya tidak bisa ditemukan.

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *