Sifat-Sifat Determinan Matriks

Sifat-sifat determinan matriks sangat bermanfaat ketika menghitung matriks-matriks dengan karakteristik khusus. Seperti matriks dengan elemen nol, matriks segitiga atas/bawah, dan matriks dengan baris sebanding.

Sifat determinan ini berlaku untuk semua ordo matriks persegi, yaitu matriks 2×2, 3×3, 4×4, dan seterusnya.

Namun, seperti yang kita tahu cukup sulit menghitung determinan matriks berordo lebih besar dari 3×3, maka contoh sifat-sifat determinan hanya menggunakan matriks ordo 2×2 dan 3×3.

Sifat Determinan

Dalam perhitungan hanya metode Sarrus yang digunakan, karena metode ini lebih mudah dibandingkan dua metode lainnya.

  1. Jika matriks A sembarang yang semua elemen dalam salah satu baris atau kolomnya adalah nol, maka determinan A = 0.

Contoh matriks 2×2

Baris Kolom
\vspace{1pc}A= \begin{bmatrix} 3 &-1\\ 0& 0\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|A\right|=3.0-(-1.0)=0 \\ \vspace{1pc}B= \begin{bmatrix} 0 &-1\\ 0& 4\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|B\right|=0.4-(-1.0)=0

Contoh matriks 3×3

Baris Kolom
\vspace{1pc}C= \begin{bmatrix} 3 &-1 &2\\ 0& 0&0\\4 &-3&1\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|C\right|=3.0.1+(-1).0.4+2.0.(-3)\\-(2.0.4+3.0.(-3)+(-1).0.1)=0 \vspace{1pc}D= \begin{bmatrix} 3 &-1 &0\\ 5& 2&0\\4 &-3&0\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|D\right|=3.2.0+(-1).0.4+0.5.(-3)\\-(0.2.4+3.0.(-3)+(-1).5.0)=0

2. Jika matriks A sembarang adalah matriks segitiga atas, matriks segitiga bawah, atau matriks diagonal, maka determinan A = hasil kali elemen diagonal utama.

Contoh matriks 2×2

Segitiga Atas Segitiga Bawah
\vspace{1pc}A= \begin{bmatrix} 3 &-1\\ 0& 2\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|A\right|=3\times2=6 \\ \vspace{1pc}B= \begin{bmatrix} 3 &0\\ 4& 2\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|B\right|=3\times2=6
Diagonal
\vspace{1pc}C= \begin{bmatrix} 3 &0\\ 0& 2\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|C\right|=3\times2=6

Contoh matriks 3×3

Segitiga Atas Segitiga Bawah
\vspace{1pc}D= \begin{bmatrix} 3 &-1 &2\\ 0& 2&6\\0 &0&4\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|D\right|=3\times2\times4=24 \vspace{1pc}E= \begin{bmatrix} 3 &0 &0\\ 5& 2&0\\1 &-3&4\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|E\right|= 3\times2\times4=24
Diagonal
\vspace{1pc}F= \begin{bmatrix} 3 &0 &0\\ 0& 2&0\\0&0&4\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|F\right|= 3\times2\times4=24




3. Jika matriks A’ adalah matriks yang diperoleh dari matriks A setelah salah satu baris/kolomnya dikalikan dengan konstanta k, maka determinan A’ = k x Det A.
Contoh matriks 2×2

Matriks A
\vspace{1pc}A= \begin{bmatrix} 3 &-1\\ 5& 2\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|A\right|=3.2-(-1).5=11
A’ (Baris) A’ (Kolom)
\vspace{1pc}k=3\\ \vspace{1pc}Baris\;ke-1\\ \vspace{1pc}Rumus=3R1\\ \vspace{1pc} A'= \begin{bmatrix} 9 &-3\\ 5& 2\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|A'\right|=9.2-(-3).5=33\\ \vspace{1pc}atau\\A'= k\times\left|A\right|=3\times11=33 \vspace{1pc}k=3\\ \vspace{1pc}Kolom\;ke-2\\ \vspace{1pc}Rumus=3C2\\ \vspace{1pc} A'= \begin{bmatrix} 3 &-3\\ 5& 6\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|A'\right|=3.6-(-3).5=33\\ \vspace{1pc}atau\\A'= k\times\left|A\right|=3\times11=33

Contoh matriks 3×3

Matriks B
\vspace{1pc}B= \begin{bmatrix} 3 &-1 &2\\ 5& 2&6\\1 &-3&4\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|B\right|= 3.2.4+(-1).6.1+2.5.(-3)\\ \vspace{1pc}-(2.2.1+3.6.(-3)+(-1).5.4)\\ \vspace{1pc}\left|B\right|=24-6-30-(4-54-20)=58
B’ (Baris)
\vspace{1pc}k=2\\ \vspace{1pc}Baris\;ke-3\\ \vspace{1pc}Rumus=2R3\\ \vspace{1pc}B'= \begin{bmatrix} 3 &-1 &2\\ 5& 2&6\\2 &-6&8\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=3.2.8+(-1).6.2+2.5.(-6)\\ \vspace{1pc}-(2.2.2+3.6.(-6)+(-1).5.8)\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=48-12-60-(8-108-40)=116
B’ (Kolom)
\vspace{1pc}k=2\\ \vspace{1pc}Kolom\;ke-2\\ \vspace{1pc}Rumus=2C2\\ \vspace{1pc}B'= \begin{bmatrix} 3 &-2 &2\\ 5& 4&6\\1 &-6&4\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=3.4.4+(-2).6.1+2.5.(-6)\\ \vspace{1pc}-(2.4.1+3.6.(-6)+(-2).5.8)\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=48-12-60-(8-108-40)=116

4. Jika matriks A’ dihasilkan dari matriks A setelah dua baris/kolomnya ditukarkan, maka determinan A’ = – det A.

Contoh matriks 2×2

Matriks A
\vspace{1pc}A= \begin{bmatrix} 3 &-1\\ 5& 2\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|A\right|=3.2-(-1).5=11
Tukar Baris Tukar Kolom
\vspace{1pc}Rumus=R1\Leftrightarrow R2\\ \vspace{1pc} A'= \begin{bmatrix} 5 &2\\ 3& -1\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|A'\right|=5.(-1)-2.3=-11\\ \vspace{1pc}atau\\ \left|A'\right|= -\left|A\right|=-(11)=-11 \vspace{1pc}Rumus=C1\Leftrightarrow C2\\ \vspace{1pc} A'= \begin{bmatrix} -1 &3\\ 2& 5\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|A'\right|=(-1).5-3.2=-11\\ \vspace{1pc}atau\\ \left|A'\right|= -\left|A\right|=-(11)=-11

Contoh matriks 3×3

Matriks B
\vspace{1pc}B= \begin{bmatrix} 3 &-1 &2\\ 5& 2&6\\1 &-3&4\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|B\right|= 3.2.4+(-1).6.1+2.5.(-3)\\ \vspace{1pc}-(2.2.1+3.6.(-3)+(-1).5.4)\\ \vspace{1pc}\left|B\right|=24-6-30-(4-54-20)=58
Tukar Baris
\vspace{1pc}Rumus=R1\Leftrightarrow R3\\ \vspace{1pc}B'= \begin{bmatrix} 1 &-3&4\\ 5& 2&6\\3 &-1 &2\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=1.2.2+(-3).6.3+4.5.(-1)\\ \vspace{1pc}-(4.2.3+1.6.(-1)+(-3).5.2)\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=4-54-20-(24-6-30)=-58\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=-\left|B\right|=-58
Tukar Kolom
\vspace{1pc}Rumus=C2\Leftrightarrow C3\\ \vspace{1pc}B'= \begin{bmatrix} 3 &2 &-1\\ 5& 6&2\\1 &4&-3\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=(-3).6.3+2.2.1++(-1).5.4\\ \vspace{1pc}-((-1).6.1+3.2.4+2.5.(-3))\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=-54+4-20-(-6+24-30)=-58\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=-\left|B\right|=-58

5. Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan dari matriks A setelah salah satu baris/kolomnya dikalikan dengan konstanta kemudian dijumlahkan/dikurangkan terhadap baris/kolom yang lainnya, maka determinan A’ = determinan A.

Matriks A
\vspace{1pc}A= \begin{bmatrix} 3 &-1\\ 5& 2\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|A\right|=3.2-(-1).5=11
Baris Kolom
\vspace{1pc}R1+2R2\mapsto R1\\ \vspace{1pc}A'= \begin{bmatrix} 13 &3\\ 5& 2\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|A'\right|=13.2-3.5=11 \vspace{1pc}C2-\frac{1}{3}C1\mapsto C2\\ \vspace{1pc}A'= \begin{bmatrix} 3 &-2\\ 5& \frac{1}{3}\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|A'\right|=3.\frac{1}{3}-(-2).5=11

Contoh matriks 3×3

Matriks B
\vspace{1pc}B= \begin{bmatrix} 3 &-1 &2\\ 5& 2&6\\1 &-3&4\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|B\right|= 3.2.4+(-1).6.1+2.5.(-3)\\ \vspace{1pc}-(2.2.1+3.6.(-3)+(-1).5.4)\\ \vspace{1pc}\left|B\right|=24-6-30-(4-54-20)=58
Baris
\vspace{1pc}R2-\frac{1}{3}R1\mapsto R2\\ \vspace{1pc}B'= \begin{bmatrix} 3 &-1 &2\\ 0& \frac{11}{3}&\frac{8}{3}\\1 &-3&4\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=3.\frac{11}{3}.4+(-1).\frac{8}{3}.1+2.0.(-3)\\ \vspace{1pc}-(2.\frac{11}{3}.1+3.\frac{8}{3}.(-3)+(-1).0.4)\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=44+0-\frac{8}{3}-(\frac{22}{3}-24+0)=58
Kolom
\vspace{1pc}C1+2C3\mapsto C1\\ \vspace{1pc}B'= \begin{bmatrix} 3 &-1 &2\\ 5& 2&6\\1 &-3&4\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=7.2.4+(-1).6.9+2.17.(-3)\\ \vspace{1pc}-(2.2.9+7.6.(-3)+(-1).17.4)\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=56-54-102-(36-126-68)=58

6. Jika sebuah matriks mempunyai dua baris yang elemen-elemennya sebanding, maka determinannya adalah nol.

 Dua Baris Sama
\vspace{1pc}A= \begin{bmatrix} 3 &-1\\ 3& -1\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|A\right|=3.(-1)-(-1).3=0
Baris Sebanding Kolom Sebanding
\vspace{1pc}B= \begin{bmatrix} 3 &-1\\ -3& 1\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|B\right|=3.(-1)-(-3).1=0 \vspace{1pc}C= \begin{bmatrix} 3 &-1\\ 6& -2\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|C\right|=3.(-2)-(-1).6=0

Contoh matriks 3×3

Dua Baris Sama
\vspace{1pc}R1=R3\\ \vspace{1pc}D=\begin{bmatrix} 3 &-1 &2\\ 5& 2&6\\3 &-1 &2\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|D\right|= 3.2.2+(-1).6.3+2.5.(-1)\\ \vspace{1pc}-(2.2.3+3.6.(-1)+(-1).5.2)\\ \vspace{1pc}\left|D\right|=12-18-10-(12-18-10)=0
Baris Sebanding
\vspace{1pc}R2\;sebanding\;R3\\ \vspace{1pc}E= \begin{bmatrix} 3 &-1 &2\\ 2& -6&8\\1 &-3&4\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|E\right|=3.(-6).4+(-1).8.1+2.2.(-3)\\ \vspace{1pc}-(2.(-6).1+3.8.(-3)+(-1).2.4)\\ \vspace{1pc}\left|E\right|=-72-8-12-(-12-72-8)=0
Kolom Sebanding
\vspace{1pc}C1\;sebanding\;C2\\ \vspace{1pc}F= \begin{bmatrix} 2 &-1 &2\\ -4& 2&6\\6 &-3&4\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|F\right|=2.2.4+(-1).6.6+2.(-4).(-3)\\ \vspace{1pc}-(2.2.6+2.6.(-3)+(-1).(-4).4)\\ \vspace{1pc}\left|F\right|=16-36+24-(24-36+16)=0

7. Suatu matriks nilai determinannya tidak akan berubah jika barisnya dijadikan kolom.

Dengan kata lain determinan matriks asal sama dengan determinan matriks hasil transpose.

Contoh matriks 2×2

Matriks A Transpose A
\vspace{1pc}A= \begin{bmatrix} 3 &-1\\ 5& 2\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|A\right|=3.2-(-1).5=11 \vspace{1pc}A^T= \begin{bmatrix} 3 &5\\ -1& 2\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|A^T\right|=3.2-5.(-1)=11

Contoh matriks 3×3

Matriks B
\vspace{1pc}B= \begin{bmatrix} 3 &-1 &2\\ 5& 2&6\\1 &-3&4\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|B\right|= 3.2.4+(-1).6.1+2.5.(-3)\\ \vspace{1pc}-(2.2.1+3.6.(-3)+(-1).5.4)\\ \vspace{1pc}\left|B\right|=24-6-30-(4-54-20)=58
Baris Sebanding
\vspace{1pc}B^T= \begin{bmatrix} 3 &5 &1\\ -1& 2&-3\\2 &6&4\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|B^T\right|= 3.2.4+5.(-3).2+1.(-1).6\\ \vspace{1pc}-(1.2.2+3.(-3).6+5.(-1).4)\\ \vspace{1pc}\left|B^T\right|=24-30-6-(4-54-20)=58

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *