Cara Mencari Nilai x Agar Matriks Singular

Judul yang saya angkat kali ini sedikit aneh, yaitu cara menghitung nilai x agar matriks tidak mempunyai invers (matriks singular).

Elemen matriks yang dicari nilainya biasanya menggunakan variabel x atau juga bisa variabel lainnya seperti a, b, c, k, l, m, n, p, q, r, t, y, dan z.

Contoh bentuk pertanyaan yang digunakan dalam soal:

  1. Tentukan nilai x agar matriks A tidak mempunyai invers!
  2. Jika matriks A adalah singular, maka hitunglah nilai x!
  3. Berapakah nilai x jika determinan matriks A=0?
  4. Carilah nilai x jika diketahui determinan matriks A = 2!
Matriks Singular dan Non Singular

Jika nilai determinan suatu matriks persegi = 0, maka matriks tersebut tidak mempunyai matriks balikan/invers matriks.

Dan matriks yang tidak mempunyai invers matriks disebut matriks singular.

Sebaliknya matriks yang nilai determinannya ≠ 0, maka matriks tersebut mempunyai invers atau disebut matriks non singular.

Det Invers Matriks
Det = 0 Tidak Singular
Det ≠ 0 Ya Non Singular
Cara Penyelesaian

Cara menentukan nilai x (elemen matriks), yaitu:

Cara mencari nilai x matriks singular

  1. Gunakan determinan metode Sarrus.
  2. Jika terdapat variabel dalam elemen matriks, kalikan seperti perkalian aljabar.
  3. Cari nilai akar persamaan linear atau persamaan kuadrat.

Pembahasan kali ini akan menjelaskan contoh soal dan penyelesaian cara mencari nilai x untuk matriks 2×2 dan 3×3.




Matriks 2×2

Metode Sarrus untuk matriks ordo 2×2, yaitu:

\vspace{1pc} A_{2\times2} = \begin{bmatrix} a &b\\ c& d\end{bmatrix}\\ \left|A\right|=ad-bc

Dalam satu matriks bisa saja terdapat satu, dua, atau tiga elemen yang tidak diketahui nilainya.

Seperti enam contoh soal berikut ini.

Contoh Soal 1:

Tentukan nilai p agar matriks A tidak mempunyai invers!

\vspace{1pc}A= \begin{bmatrix} p & -4\\ 3& 2\end{bmatrix}

Penyelesaian:

Matriks A tidak mempunyai invers jika determinan = 0.

\vspace{1pc}A= \begin{bmatrix} p & -4\\ 3& 2\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|A\right|=0\\\vspace{1pc}(p\times 2)-(-4\times 3)=0\\ \vspace{1pc}2p-(-12)=0\\ \vspace{1pc}2p=-12\\ \vspace{1pc}p=\frac{-12}{2}=-6\\Jadi,\;nilai\;p = -6

Contoh Soal 2:

Berapakah nilai a jika determinan matriks B = 0?

\vspace{1pc}B= \begin{bmatrix} 6 & 3\\ a-3& a\end{bmatrix}

Penyelesaian:

Matriks B singular maka determinan B = 0.

\vspace{1pc}B= \begin{bmatrix} 6 & 3\\ a-3& a\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|B\right|=0\\\vspace{1pc}(6\times a)-(3(a-3))=0\\ \vspace{1pc}6a-(3a-9)=0\\ \vspace{1pc}6a-3a+9=0\\ \vspace{1pc}6a-3a=-9\\ \vspace{1pc}3a=-9\\ \vspace{1pc}a=\frac{-9}{3}=-3\\Jadi,\;nilai\;a =-3

Contoh Soal 3:

Jika matriks C adalah singular, maka hitunglah nilai x!

\vspace{1pc}C= \begin{bmatrix} x & 1\\ 5& x+4\end{bmatrix}

Penyelesaian:

Matriks C singular maka determinan C = 0.

\vspace{1pc}C= \begin{bmatrix} x & 1\\ 5& x+4\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|C\right|=0\\\vspace{1pc}(x(x+4))-(1\times 5)=0\\ \vspace{1pc}x^2+4x-5=0\\ \vspace{1pc}(x-1)(x+5)=0\\ \vspace{1pc}x-1=0\mapsto x=1\\ \vspace{1pc}x+5=0\mapsto x=-5\\Jadi,\;nilai\;x =-5\;atau\;x=1

Contoh Soal 4:

Tentukan nilai n agar matriks tidak mempunyai invers!

\vspace{1pc}D= \begin{bmatrix} n & n+1\\ -4& n+1\end{bmatrix}

Penyelesaian:

\vspace{1pc}D= \begin{bmatrix} n & n+1\\ -4& n+1\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|D\right|=0\\\vspace{1pc}(n(n+1))-((n+1)(-4))=0\\ \vspace{1pc}(n^2+n)-(-4n-4)=0\\ \vspace{1pc}n^2+n+4n+4=0\\ \vspace{1pc}n^2+5n+4=0\\ \vspace{1pc}(n+1)(n+4)=0\\ \vspace{1pc}n+1=0\mapsto n=-1\\ \vspace{1pc}n+4=0\mapsto n=-4\\Jadi,\;nilai\;n = -1 \;atau\;n = -4

Contoh Soal 5:

Berapakah nilai α jika determinan matriks E =0!

\vspace{1pc}E= \begin{bmatrix} sin \alpha & 1\\ 1& 2\end{bmatrix}

Penyelesaian:

\vspace{1pc}E= \begin{bmatrix} sin \alpha & 1\\ 1& 2\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|E\right|=0\\\vspace{1pc}(sin\alpha(2))-(1\times 1)=0\\ \vspace{1pc}2 sin\alpha-1=0\\ \vspace{1pc}2 sin\alpha=1\\ \vspace{1pc}sin\alpha=\frac{1}{2}\\ \vspace{1pc}\alpha=arcsin\frac{1}{2}\\ \vspace{1pc}\alpha=30^{\circ}\;atau\\ \vspace{1pc}\alpha=150^{\circ}

Contoh Soal 6:

Jika determinan matriks F = -8, tentukan nilai k!

\vspace{1pc}F= \begin{bmatrix} k-2 & 2k\\ -4& k\end{bmatrix}

Penyelesaian:

\vspace{1pc}F= \begin{bmatrix} k-2 & 2k\\ -4& k\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|F\right|=-8\\\vspace{1pc}((k-2)k)-(2k(-4))=-8\\ \vspace{1pc}(k^2-2k)-(-8k)=-8\\ \vspace{1pc}k^2-2k+8k+8=0\\ \vspace{1pc}k^2+6k+8=0\\ \vspace{1pc}(k+2)(k+4)=0\\ \vspace{1pc}k+2=0\mapsto k=-2\\ \vspace{1pc}k+4=0\mapsto x=-4\\Jadi,\;nilai\;k = -2 \;atau\;k = -4

Matriks 3×3

Metode Sarrus untuk determinan matriks 3×3:

\vspace{1pc}Matriks\;3x3\\ \vspace{1pc}A_{3\times3} = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d& e& f \\ g& h & i \end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|A\right|=aei+bfg+cdh-(ceg+afh+bdi)

Contoh soal 1:

Hitunglah nilai t jika diketahui matriks A singular!

\vspace{1pc}A= \begin{bmatrix} 5 & 2 & -3\\ -10 & 4 & 7 \\ -5& t & 2 \end{bmatrix}

Penyelesaian:

Matriks A singular = determinan 0

\vspace{1pc}A= \begin{bmatrix} 5 & 2 & -3\\ -10 & 4 & 7 \\ -5& t & 2 \end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|A\right|=0\\ \vspace{1pc}\left[(5.4.2)+(2.7.-5)+(-3.-10.t)\right]\\\vspace{1pc}-\left[(-3.4.-5)+(5.7.t)+(2.-10.2)\right]=0\\ \vspace{1pc}\left[40+(-70)+30t)\right]-\left [60+35t+(-40)\right ]=0\\ \vspace{1pc}-30+30t-(20+35t)=0\\ \vspace{1pc}-30-20+30t-35t=0\\ \vspace{1pc}-5t-50=0\\ \vspace{1pc}-5t=50\\t=-\frac{50}{5}=-10

Contoh soal 2:

Tentukan nilai m agar matriks B tidak mempunyai invers!

\vspace{1pc}B= \begin{bmatrix} 0 & -1 & -1\\ 2m & 1 & m-3 \\ 1& 5 & 6 \end{bmatrix}

Penyelesaian:

Syarat matriks B tidak mempunyai invers, yaitu determinan B=0

\vspace{1pc}B= \begin{bmatrix} 0 & -1 & -1\\ 2m & 1 & m-3 \\ 1& 5 & 6 \end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|B\right|=0\\ \vspace{1pc}\left[(0.1.6)+(-1.(m-3).1)+(-1.2m.5)\right]\\\vspace{1pc}-\left[(-1.1.1)+(0.(m-3).5)+(-1.2m.6)\right]=0\\ \vspace{1pc}\left[0+(-m+3)+(-10m)\right]-\left [-1+0+(-12m)\right ]=0\\ \vspace{1pc}-m+3-10m+1+12m=0\\ \vspace{1pc}-m-10m+12m+3+1=0\\ \vspace{1pc}m+4=0\\ \vspace{1pc}m=-4

Contoh soal 3:

Diketahui nilai determinan matriks C = 0, hitunglah nilai dari variabel y!

\vspace{1pc}C= \begin{bmatrix} 5 & -2 & 3\\ y & 7 & -3 \\ -1& 3 & y-4 \end{bmatrix}

Penyelesaian:

\vspace{1pc}C= \begin{bmatrix} 5 & -2 & 3\\ y & 7 & -3 \\ -1& 3 & y-4 \end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|C\right|=0\\ \vspace{1pc}\left[(5.7.(y-4))+(-2.-3.-1)+(3.y.3)\right]\\\vspace{1pc}-\left[(3.7.-1)+(5.-3.3)+(-2.y.(y-4))\right]=0\\ \vspace{1pc}\left[35y-140-6+9y\right]-\left [-21-45-2y^2+8y\right ]=0\\ \vspace{1pc}44y-146+66+2y^2-8y=0\\ \vspace{1pc}2y^2+36y-80=0\;(\div\;2)\\ \vspace{1pc}y^2+18y-40=0\\ \vspace{1pc}(y-2)(y+20)=0\\ \vspace{1pc}y-2=0\mapsto y=2\\ \vspace{1pc}y+20=0\mapsto y=-20

 

2 tanggapan untuk “Cara Mencari Nilai x Agar Matriks Singular

    • 24 November 2017 pada 05:35
      Permalink

      (1 X 1)- x(4) = 6

      1 – 4x = 6

      -4x = 5

      x = -5/4

      Balas

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *