Persamaan Kuadrat: Rumus ABC

Tidak bisa dipungkiri bahwa rumus ABC merupakan cara cepat dan praktis untuk menyelesaikan persamaan kuardrat dibandingkan dua cara lainnya yaitu pemfaktoran dan melengkapi kuadrat sempurna.

Walaupun rumus ABC ini tampak sederhana tapi diperlukan ketelitian dalam menuliskan dan mensubstitusikan nilai koefisien ke dalam rumus.

Karena hal tersebut seringkali menjadi penyebab kesalahan perhitungan akar-akar persamaan kuadrat.

Rumus ABC

Rumus ABC untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat:

\vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4.a.c}}{2a}\\ \vspace{1pc}D=b^2-4.a.c

Rumus ini dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan koefisien a<1, a=1, a>1, dan diskriminan D>0, D=0, dan D<0.

Namun, berdasarkan pengalaman terdapat kesalahan dalam penggunaan rumus ABC untuk mencari akar persamaan kuadrat ini, yaitu:

  • Tanda minus didepan b (-b ± √…..)

Kesalahan yang biasanya terjadi yaitu hanya mensubstitusi nilai b tanpa menuliskan tanda minus.

Contoh1: -x+ 3x – 2 = 0

Salah Benar
\vspace{1pc}a=-1\;b=3\;c=-2\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4.a.c}}{2a}\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{3\;\pm\sqrt{\cdots}}{\cdots} \vspace{1pc}a=-1\;b=3\;c=-2\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4.a.c}}{2a}\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{-3\;\pm\sqrt{\cdots}}{\cdots}

Contoh1: 2x– 4x + 1 = 0

Salah Benar
\vspace{1pc}a=2\;b=-4\;c=1\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4.a.c}}{2a}\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{-4\;\pm\sqrt{\cdots}}{\cdots} \vspace{1pc}a=2\;b=-4\;c=1\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4.a.c}}{2a}\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{-(-4)\;\pm\sqrt{\cdots}}{\cdots}
  • Rumus Diskriminan -4ac

Salah membedakan (-) sebagai operasi pengurangan dan (-) sebagai simbol bilangan negatif.

Solusi: Mengapit “4ac” dengan tanda kurung sehingga rumusnya menjadi “b2-(4ac)”.

Contoh1: -x+ 3x – 2 = 0

Cara Biasa Tanda Kurung
\vspace{1pc}a=-1\;b=3\;c=-2\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4.a.c}}{2a}\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{-3\;\pm\sqrt{3^2-4. -1.(-2)}}{2(-1)} \vspace{1pc}a=-1\;b=3\;c=-2\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-(4.a.c)}}{2a}\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{-3\;\pm\sqrt{3^2-(4.(-1).(-2))}}{2(-1)}

Contoh1: 2x– 4x + 1 = 0

Cara Biasa Tanda Kurung
\vspace{1pc}a=2\;b=-4\;c=1\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4.a.c}}{2a}\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{-(-4)\;\pm\sqrt{(-4)^2-4.2.1}}{2(2)} \vspace{1pc}a=2\;b=-4\;c=1\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-(4.a.c)}}{2a}\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{-(-4)\;\pm\sqrt{(-4)^2-(4.2.1)}}{2(2)}

Secara umum ada tiga macam persamaan kuadrat berdasarkan nilai diskriminan. Kemudian dari masing-masing diskriminan terbagi lagi berdasarkan nilai koefisien a.

persamaan kuadrat rumus abc

Berikut ini contoh soal dan pembahasan lengkapnya.




  1. Diskriminan D>0

Persamaan kuadrat dengan nilai diskriminan D>0 mempunyai dua akar real yang berlainan. Akar-akarnya bisa berupa bilangan bulat, bilangan pecahan, dan bilangan akar.

Jika koefisien b=0, maka persamaan kuadrat ini juga mempunyai akar-akar real berkebalikan/berlawanan.

Contoh:

Koefisien a<1
\vspace{1pc}-4x^2+10x-5=0\\ \vspace{1pc}a=-4\;b=10\;c=-5\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-(4.a.c)}}{2a}\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{-10\pm\sqrt{10^2-(4.(-4).(-5))}}{2(-4)}\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{-10\pm\sqrt{100-80}}{-8}\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{-10\pm\sqrt{20}}{-8}\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{-10\pm2\sqrt{5}}{-8}\\ \vspace{1pc}x_{1}=\frac{-10+2\sqrt{5}}{-8}=\frac{-10}{-8}+\frac{2}{-8}\sqrt{5}=\frac{5}{4}-\frac{1}{4}\sqrt{5}\\ \vspace{1pc}x_{2}=\frac{-10-2\sqrt{5}}{-8}=\frac{-10}{-8}-\frac{2}{-8}\sqrt{5}=\frac{5}{4}+\frac{1}{4}\sqrt{5}
Koefisien a=1
 \vspace{1pc}x^2-3x-4=0\\ \vspace{1pc}a=1\;b=-3\;c=-4\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-(4.a.c)}}{2a}\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^2-(4.1.(-4))}}{2(1)}\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{9-(-16)}}{2}\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{25}}{2}\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{3\pm 5}{2}\\ \vspace{1pc}x_{1}=\frac{3+5}{2}=4\\ \vspace{1pc}x_{2}=\frac{3-5}{2}=-1
Koefisien a>1
\vspace{1pc}4x^2-9=0\\ \vspace{1pc}a=4\;b=0\;c=-9\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-(4.a.c)}}{2a}\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{-0\pm\sqrt{0^2-(4.4.(-9))}}{2(4)}\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{0\pm\sqrt{0-(-144)}}{8}\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{0\pm\sqrt{144}}{8}\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{0\pm 12}{8}\\ \vspace{1pc}x_{1}=\frac{0+12}{8}=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}\\ \vspace{1pc}x_{2}=\frac{0-12}{8}=-\frac{3}{2}=-1\frac{1}{2}
2. Diskriminan D=0

Persamaan kuadrat dengan diskriminan D=0 dikenal dengan istilah persamaan kuadrat sempurna. Persamaan kuadrat ini mempunyai dua akar real yang sama/kembar.

Contoh:

Koefisien a<1
\vspace{1pc}-x^2+8x-16=0\\ \vspace{1pc}a=-1\;b=8\;c=-16\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-(4.a.c)}}{2a}\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{-8\pm\sqrt{8^2-(4.(-1).(-16))}}{2(-1)}\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{-8\pm\sqrt{64-64}}{-2}\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{-8\pm\sqrt{0}}{-2}\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{-8\pm 0}{-2}\\ \vspace{1pc}x_{1}=\frac{-8+0}{-2}=4\\ \vspace{1pc}x_{2}=\frac{-8-0}{-2}=4
Koefisien a=1
 \vspace{1pc}x^2-6x+9=0\\ \vspace{1pc}a=1\;b=-6\;c=9\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-(4.a.c)}}{2a}\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{-(-6)\pm\sqrt{(-6)^2-(4.1.9)}}{2(1)}\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt{36-36}}{2}\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt{0}}{2}\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{6\pm 0}{2}\\ \vspace{1pc}x_{1}=\frac{6+0}{2}=3\\ \vspace{1pc}x_{2}=\frac{6-0}{2}=3
Koefisien a>1
\vspace{1pc}4x^2+20x+25=0\\ \vspace{1pc}a=4\;b=20\;c=25\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-(4.a.c)}}{2a}\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{-20\pm\sqrt{20^2-(4.4.25)}}{2(4)}\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{-20\pm\sqrt{400-400}}{8}\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{-20\pm\sqrt{0}}{8}\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{-20\pm 0}{8}\\ \vspace{1pc}x_{1}=\frac{-20+0}{8}=-2\frac{4}{8}=-2\frac{1}{2}\\ \vspace{1pc}x_{2}=\frac{-20-0}{8}=-2\frac{4}{8}=-2\frac{1}{2}
3. Diskriminan D<0

Persamaan kuadrat dengan diskriminan D<0 mempunyai dua akar bilangan kompleks.

Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk

a+bi

di mana a dan b adalah bilangan real, dan i adalah bilangan imajiner tertentu yang mempunyai sifat i 2 = −1 (wikipedia).
Contoh:

Koefisien a<1
\vspace{1pc}-2x^2+6x-5=0\\ \vspace{1pc}a=-2\;b=6\;c=-5\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-(4.a.c)}}{2a}\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{-6\pm\sqrt{6^2-(4.(-2).(-5))}}{2(-2)}\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{-6\pm\sqrt{36-40}}{-4}\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{-6\pm\sqrt{-4}}{-4}\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{-6\pm 2i}{-4}\\ \vspace{1pc}x_{1}=\frac{-6+2i}{-4}=\frac{-6}{-4}+\frac{2}{-4}i=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}i\\ \vspace{1pc}x_{2}=\frac{-6-2i}{-4}=\frac{-6}{-4}-\frac{2}{-4}i=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}i
Koefisien a=1
 \vspace{1pc}x^2+4x+7=0\\ \vspace{1pc}a=1\;b=4\;c=7\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-(4.a.c)}}{2a}\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{-4\pm\sqrt{(4^2-(4.1.7)}}{2(1)}\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{-4\pm\sqrt{16-28}}{2}\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{-4\pm\sqrt{-12}}{2}\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{-4\pm 2\sqrt{3}i}{2}\\ \vspace{1pc}x_{1}=\frac{-4+2\sqrt{3}i}{2}=\frac{-4}{2}+\frac{2\sqrt{3}}{2}i=-2+\sqrt{3}i\\ \vspace{1pc}x_{2}=\frac{-4-2\sqrt{3}i}{2}=\frac{-4}{2}-\frac{2\sqrt{3}}{2}i=-2-\sqrt{3}i
Koefisien a>1
\vspace{1pc}3x^2+2x+1=0\\ \vspace{1pc}a=3\;b=2\;c=1\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-(4.a.c)}}{2a}\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-(4.3.1)}}{2(3)}\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{4-12}}{6}\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{-8}}{6}\\ \vspace{1pc}x_{1,2}=\frac{-2\pm 2\sqrt{2}i}{6}\\ \vspace{1pc}x_{1}=\frac{-2+2\sqrt{2}i}{6}=\frac{-2}{6}+\frac{2\sqrt{2}}{6}i=-\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{2}}{3}i\\ \vspace{1pc}x_{2}=\frac{-2-2\sqrt{2}i}{6}=\frac{-2}{6}-\frac{2\sqrt{2}}{6}i=-\frac{1}{3}-\frac{\sqrt{2}}{3}i

Persamaan Kuadrat: Pemfaktoran > Melengkapi Kuadrat Sempurna > Rumus ABC

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *