Persamaan Kuadrat: Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Pernah mencoba memfaktorkan persamaan kuadrat namun tidak bisa memperoleh nilai akar-akarnya?

Padahal anda paham betul rumus, cara menghitung, menyelesaikan, mengerjakan, atau mencari akar-akar persamaan kuadrat dengan pemfaktoran. Lalu apa sebenarnya masalahnya?

Masalahnya terletak pada persamaan kuadrat yang tidak bisa diselesaikan dengan cara faktorisasi, tapi “mungkin” saja bisa diselesaikan dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna.

Cara Penyelesaian

Konsep dasar dari metode melengkapkan persamaan kuadrat sempurna adalah merubah persamaan kuadrat: ax+ bx + c = 0.

Menggunakan dua sifat utama kuadrat sempurna: x+ 2dx + d2 = (x+d)2 = 0 dan x2 – 2dx + d2 =(x – d)2 = 0.

Menjadi bentuk umum melengkapkan persamaan kuadrat sempurna: (x + p)2 = q, atau (x – p)2 = q, q ≥ 0.

melengkapkan kuadrat sempurna

Berikut ini prosedur menentukan akar-akar persamaan kuadrat cara melengkapi bentuk kuadrat sempurna.

 \vspace{1pc} ax^2+bx+c=0\;(\div a)\\ \vspace{1pc} \frac{a}{a}x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=\frac{0}{a}\\ \vspace{1pc} x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}-\frac{c}{a}=0-\frac{c}{a}\\ \vspace{1pc} x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{1}{2}(\frac{b}{a}))^2=-\frac{c}{a}+(\frac{1}{2}(\frac{b}{a}))^2\\ \vspace{1pc} x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2\\ \vspace{1pc} Misalkan\; (\frac{b}{2a})=p\\ \vspace{1pc}maka\;x^2+2px+p^2=-\frac{c}{a}+p^2\\ \vspace{1pc} Misalkan -\frac{c}{a}+p^2=q,\;maka\\ \vspace{1pc} (x+p)^2=q\\ \vspace{1pc}\sqrt{(x+p)^2}=\pm\sqrt{q}\\ \vspace{1pc}x+p=\sqrt{q}\mapsto x=-p+\sqrt{q}\\ \vspace{1pc}x+p=-\sqrt{q}\mapsto x=-p-\sqrt{q}

Dari prosedut tersebut, jika diuraikan maka cara menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan bentuk kuadrat sempurna:

  1. Dibagi koefisien a
  2. Konstanta c/a pindah ruas
  3. Ditambah konstanta p2
  4. Sifat utama
  5. Diakar pangkatkan
  6. Akar xdan x2

Semua persamaan kuadrat yang bisa diselesaikan dengan cara memfaktorkan, juga bisa diselesaikan dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna, seperti contoh 4 dibawah.

Akan tetapi, akar-akar persamaan kuadrat yang diperoleh dari melengkapkan kuadrat sempurna belum tentu bisa dicari dengan cara pemfaktoran.

Misalnya tiga contoh soal pertama persamaan kuadrat dengan koefisien a=1, a>1, dan a<1 berikut ini.

 




  1. Dibagi Koefisien a

Persamaan kuadrat dengan koefisien a=1 maka langkah dilanjutkan ke langkah (2) konstanta c/a pindah ruas.

x^2+bx+c= 0\mapsto langkah\;2

Contoh:

Koefisien a=1
 \vspace{1pc} x^2-10x+7=0\mapsto langkah\;2

Dan jika koefisien a>1 atau a<1, maka persamaan kuadrat dibagi dengan koefisien a.

\vspace{1pc}x^2+bx+c= 0\;(\div a)\\ \vspace{1pc} \frac{a}{a}x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=\frac{0}{a}\\ \vspace{1pc} x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0

Contoh:

Koefisien a>1
 \vspace{1pc} 2x^2+ 7x - 4 = 0\;(\div\;2)\\ \vspace{1pc} \frac{2x^2}{2}+ \frac{7x}{2} - \frac{4}{2}= \frac{0}{2} \\ \vspace{1pc} x^2+ \frac{7}{2}x - 2 = 0
Koefisien a<1
 \vspace{1pc} -3x^2+ 8x - 3 = 0\;(\div\;-3)\\ \vspace{1pc} \frac{-3x^2}{-3}+ \frac{8x}{-3} - \frac{3}{-3}= \frac{0}{-3} \\ \vspace{1pc} x^2-\frac{8}{3}x+1= 0
2. Konstanta c/a pindah ruas

Prosedur sebenarnya adalah menambahkan kedua ruas dengan konstanta -c/a.

Hanya saja langkah ini akan lebih mudah dipahami dengan cara memindahkan konstanta c/a dari ruas kiri ke ruas kanan.

Kedua Ruas Pindah Ruas
 \vspace{1pc} x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}-\frac{c}{a}=0-\frac{c}{a}\\ x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}  \vspace{1pc} x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0\\ x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}

Seperti yang terlihat hasil akhirnya sama, namun cara “Pindah Ruas” jauh lebih mudah dari cara “Kedua Ruas”.

Untuk koefisien a=1, maka konstanta c yang pindah ke ruas kanan.

\vspace {1pc} x^2+bx+c= 0\\ \vspace{1pc}x^2+bx= -c

Contoh:

Koefisien a=1
\vspace{1pc} x^2-10x+7=0\\ \vspace{1pc}x^2-10x=-7

Sedangkan untuk koefisien a>1 atau a<1, maka konstanta c/a pindah ke ruas kanan.

\vspace{1pc} x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0\\ \vspace{1pc} x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}

Contoh:

Koefisien a>1
\vspace{1pc} 2x^2+ 7x - 4 = 0\;(\div\;2)\\ \vspace{1pc} \frac{2x^2}{2}+ \frac{7x}{2} - \frac{4}{2}= \frac{0}{2} \\ \vspace{1pc} x^2+ \frac{7}{2}x-2=0\\ \vspace{1pc} x^2+ \frac{7}{2}x=2
Koefisien a<1
 \vspace{1pc} -3x^2+ 8x - 3 = 0\;(\div\;-3)\\ \vspace{1pc} \frac{-3x^2}{-3}+ \frac{8x}{-3} - \frac{3}{-3}= \frac{0}{-3} \\ \vspace{1pc} x^2-\frac{8}{3}x+1= 0\\ \vspace{1pc} x^2-\frac{8}{3}x=-1
3. Ditambah konstanta p2

Rumus mencari nilai p2 untuk koefisien a=1, yaitu:

p^2=(\frac{1}{2}(b))^2=(\frac{b}{2})^2

Dan menambahkan nilai p2 kedua ruas, sehingga ruas kiri persamaan kuadrat menjadi persamaan kuadrat sempurna.

\vspace{1pc}x^2+bx=-c\\ \vspace{1pc}x^2+bx+(\frac{b}{2})^2=-c+(\frac{b}{2})^2\\ x^2+bx+p^2=-c+p^2

Contoh:

Koefisien a=1
\vspace{1pc} x^2-10x+7=0\\ \vspace{1pc}x^2-10x=-7\\ \vspace{1pc}b=-10\mapsto p^2=(\frac{b}{2})^2=(\frac{-10}{2})^2=(-5)^2\\ \vspace{1pc}x^2-10x+(-5)^2=-7+(-5)^2

Kemudian rumus nilai p2 untuk koefisien a>1 dan a<1:

p^2=(\frac{1}{2}(\frac{b}{a}))^2=(\frac{b}{2a})^2

Tambahkan nilai p2 ke ruas kiri dan kanan.

\vspace{1pc}x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}\\ \vspace{1pc}x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2\\ x^2+\frac{b}{a}x+p^2=-\frac{c}{a}+p^2

Contoh:

Koefisien a>1
\vspace{1pc} 2x^2+ 7x - 4 = 0\;(\div\;2)\\ \vspace{1pc} \frac{2x^2}{2}+ \frac{7x}{2} - \frac{4}{2}= \frac{0}{2} \\ \vspace{1pc} x^2+ \frac{7}{2}x-2=0\\ \vspace{1pc} x^2+ \frac{7}{2}x=2\\ \vspace{1pc}a=2,\;b=7\\ \vspace{1pc}p^2=(\frac{b}{2a})^2=(\frac{7}{2(2)})^2=(\frac{7}{4})^2\\ \vspace{1pc} x^2+ \frac{7}{2}x+(\frac{7}{4})^2=2+(\frac{7}{4})^2
Koefisien a<1
 \vspace{1pc} -3x^2+ 8x - 3 = 0\;(\div\;-3)\\ \vspace{1pc} \frac{-3x^2}{-3}+ \frac{8x}{-3} - \frac{3}{-3}= \frac{0}{-3}\\ \vspace{1pc} x^2-\frac{8}{3}x+1= 0\\ \vspace{1pc} x^2-\frac{8}{3}x=-1\\ \vspace{1pc}a=-3,\;b=8\\ \vspace{1pc} p^2=(\frac{b}{2a})^2=(\frac{8}{2(-3)})^2=(-\frac{8}{6})^2\\ \vspace{1pc} x^2-\frac{8}{3}x+(-\frac{8}{6})^2=-1+(-\frac{8}{6})^2
4. Sifat utama

Dua sifat utama melengkapi persamaan kuadrat sempurna, yaitu:

x+ 2px + p2 = (x + p)2 = q, q ≥ 0 … Sifat (1)

x2 + 2(-p)x + (-p)2 = (x – p)2 = q, q ≥ 0 ….. Sifat (2)

Namun, jika cara tersebut membingungkan maka khusus untuk koefisien a=1 bisa menggunakan cara pemfaktoran.

Contoh koefisien a=1

Prosedur Sifat Utama
\vspace{1pc} x^2-10x+7=0\\ \vspace{1pc}x^2-10x=-7\\ \vspace{1pc}x^2-10x+(-5)^2=-7+(-5)^2\\ \vspace{1pc}p=-5\mapsto 2p=2(-5)=-10\\ \vspace{1pc} x^2+ 2(-p)x+(-p)^2=(x-p)^2=q\\ \vspace{1pc}x^2+2(-5)x+(-5)^2=-7+25\\ \vspace{1pc}(x-5)^2=18
Prosedur Pemfaktoran
\vspace{1pc} x^2-10x+7=0\\ \vspace{1pc}x^2-10x=-7\\ \vspace{1pc}x^2-10x+(-5)^2=-7+(-5)^2\\ \vspace{1pc}x^2-10x+25=-7+25\\ \vspace{1pc}(x-5)(x-5)=18\\ \vspace{1pc}(x-5)^2=18

Sedangkan untuk koefisien a>1 dan a<1, sebaiknya gunakan sifat utama.

Contoh:

Koefisien a>1
\vspace{1pc} 2x^2+ 7x - 4 = 0\;(\div\;2)\\ \vspace{1pc} \frac{2x^2}{2}+ \frac{7x}{2} - \frac{4}{2}= \frac{0}{2} \\ \vspace{1pc} x^2+ \frac{7}{2}x-2=0\\ \vspace{1pc} x^2+ \frac{7}{2}x=2\\ \vspace{1pc} x^2+ \frac{7}{2}x+(\frac{7}{4})^2=2+(\frac{7}{4})^2\\ \vspace{1pc}p=\frac{7}{4}\mapsto 2p=2(\frac{7}{4})=\frac{7}{2}\\ \vspace{1pc} x^2+ 2px+p^2=(x+p)^2=q\\ \vspace{1pc} x^2+ 2(\frac{7}{4})x+(\frac{7}{4})^2=2+\frac{49}{16}\\ \vspace{1pc} (x+\frac{7}{4})^2=\frac{32}{16}+\frac{49}{16}=\frac{81}{16}
Koefisien a<1
 \vspace{1pc} -3x^2+ 8x - 3 = 0\;(\div\;-3)\\ \vspace{1pc} \frac{-3x^2}{-3}+ \frac{8x}{-3} - \frac{3}{-3}= \frac{0}{-3}\\ \vspace{1pc} x^2-\frac{8}{3}x+1= 0\\ \vspace{1pc} x^2-\frac{8}{3}x=-1\\ \vspace{1pc} x^2-\frac{8}{3}x+(-\frac{8}{6})^2=-1+(-\frac{8}{6})^2\\ \vspace{1pc}p=-\frac{8}{6}\mapsto 2p=2(-\frac{8}{6})=-\frac{8}{3}\\ \vspace{1pc} x^2+ 2(-p)x+(-p)^2=(x-p)^2=q\\ \vspace{1pc} x^2+2(-\frac{8}{6})x+(-\frac{8}{6})^2=-1+\frac{64}{36}\\ \vspace{1pc}(x-\frac{8}{6})^2=-\frac{36}{36}+\frac{64}{36}=\frac{28}{36}
5. Akar pangkatkan kedua ruas

Mengakar pangkatkan kedua ruas:

\vspace{1pc}(x+p)^2=q\\ \vspace{1pc}\sqrt{(x+p)^2}=\sqrt{q}\\ x+p=\sqrt{q}

Contoh:

Koefisien a=1
\vspace{1pc} x^2-10x+7=0\\ \vspace{1pc}x^2-10x=-7\\ \vspace{1pc}x^2-10x+(-5)^2=-7+(-5)^2\\ \vspace{1pc}x^2+2(-5)x+(-5)^2=-7+25\\ \vspace{1pc}(x-5)^2=18\\ \vspace{1pc}\sqrt{(x-5)^2}=\sqrt{18}\\ \vspace{1pc}x-5=\pm\;3\sqrt{2}
Koefisien a>1
\vspace{1pc} 2x^2+ 7x - 4 = 0\;(\div\;2)\\ \vspace{1pc} \frac{2x^2}{2}+ \frac{7x}{2} - \frac{4}{2}= \frac{0}{2} \\ \vspace{1pc} x^2+ \frac{7}{2}x-2=0\\ \vspace{1pc} x^2+ \frac{7}{2}x=2\\ \vspace{1pc} x^2+ \frac{7}{2}x+(\frac{7}{4})^2=2+(\frac{7}{4})^2\\ \vspace{1pc} x^2+ 2(\frac{7}{4})x+(\frac{7}{4})^2=2+\frac{49}{16}\\ \vspace{1pc} (x+\frac{7}{4})^2=\frac{32}{16}+\frac{49}{16}=\frac{81}{16}\\ \vspace{1pc}\sqrt{(x+\frac{7}{4})^2}=\sqrt{\frac{81}{16}}\\ \vspace{1pc} x+\frac{7}{4}=\pm\;\frac{9}{4}
Koefisien a<1
 \vspace{1pc} -3x^2+ 8x - 3 = 0\;(\div\;-3)\\ \vspace{1pc} \frac{-3x^2}{-3}+ \frac{8x}{-3} - \frac{3}{-3}= \frac{0}{-3}\\ \vspace{1pc} x^2-\frac{8}{3}x+1= 0\\ \vspace{1pc} x^2-\frac{8}{3}x=-1\\ \vspace{1pc} x^2-\frac{8}{3}x+(-\frac{8}{6})^2=-1+(-\frac{8}{6})^2\\ \vspace{1pc} x^2+2(-\frac{8}{6})x+(-\frac{8}{6})^2=-1+\frac{64}{36}\\ \vspace{1pc}(x-\frac{8}{6})^2=-\frac{36}{36}+\frac{64}{36}=\frac{28}{36}\\ \vspace{1pc}\sqrt{(x-\frac{8}{6})^2}=\sqrt{\frac{28}{36}}=\pm\;\frac{2}{6}\sqrt{7}
6. Akar x1 dan x2

Cara menghitung akar x1 dan x2:

\vspace{1pc}x+p=\pm\;\sqrt{q}\\ \vspace{1pc}Akar\;x_{1}\\ \vspace{1pc}x+p=\sqrt{q}\mapsto x=-p+\sqrt{q}\\ \vspace{1pc}Akar\;x_{2}\\ \vspace{1pc}x+p=-\sqrt{q} \mapsto x=-p-\sqrt{q}

Contoh:

Koefisien a=1
\vspace{1pc} x^2-10x+7=0\\ \vspace{1pc}x^2-10x=-7\\ \vspace{1pc}x^2-10x+(-5)^2=-7+(-5)^2\\ \vspace{1pc}x^2+2(-5)x+(-5)^2=-7+25\\ \vspace{1pc}(x-5)^2=18\\ \vspace{1pc}\sqrt{(x-5)^2}=\sqrt{18}\\ \vspace{1pc}x-5=\pm\;3\sqrt{2}\\ \vspace{1pc}Akar\;x_{1}\\ \vspace{1pc}x-5=3\sqrt{2}\mapsto x=5+3\sqrt{2}\\ \vspace{1pc}Akar\;x_{2}\\ \vspace{1pc}x-5=-3\sqrt{2}\mapsto x=5-3\sqrt{2}
Koefisien a>1
\vspace{1pc} 2x^2+ 7x - 4 = 0\;(\div\;2)\\ \vspace{1pc} \frac{2x^2}{2}+ \frac{7x}{2} - \frac{4}{2}= \frac{0}{2} \\ \vspace{1pc} x^2+ \frac{7}{2}x-2=0\\ \vspace{1pc} x^2+ \frac{7}{2}x=2\\ \vspace{1pc} x^2+ \frac{7}{2}x+(\frac{7}{4})^2=2+(\frac{7}{4})^2\\ \vspace{1pc} x^2+ 2(\frac{7}{4})x+(\frac{7}{4})^2=2+\frac{49}{16}\\ \vspace{1pc} (x+\frac{7}{4})^2=\frac{32}{16}+\frac{49}{16}=\frac{81}{16}\\ \vspace{1pc}\sqrt{(x+\frac{7}{4})^2}=\sqrt{\frac{81}{16}}\\ \vspace{1pc} x+\frac{7}{4}=\pm\;\frac{9}{4}\\ \vspace{1pc}Akar\;x_{1}\\ \vspace{1pc}x+\frac{7}{4}=\frac{9}{4}\mapsto x=\frac{9}{4}-\frac{7}{4}=\frac{1}{2}\\ \vspace{1pc}Akar\;x_{2}\\ \vspace{1pc}x+\frac{7}{4}=-\frac{9}{4}\mapsto x=-\frac{9}{4}-\frac{7}{4}=-4
Koefisien a<1
 \vspace{1pc} -3x^2+ 8x - 3 = 0\;(\div\;-3)\\ \vspace{1pc} \frac{-3x^2}{-3}+ \frac{8x}{-3} - \frac{3}{-3}= \frac{0}{-3}\\ \vspace{1pc} x^2-\frac{8}{3}x+1= 0\\ \vspace{1pc} x^2-\frac{8}{3}x=-1\\ \vspace{1pc} x^2-\frac{8}{3}x+(-\frac{8}{6})^2=-1+(-\frac{8}{6})^2\\ \vspace{1pc} x^2+2(-\frac{8}{6})x+(-\frac{8}{6})^2=-1+\frac{64}{36}\\ \vspace{1pc}(x-\frac{8}{6})^2=-\frac{36}{36}+\frac{64}{36}=\frac{28}{36}\\ \vspace{1pc}\sqrt{(x-\frac{8}{6})^2}=\sqrt{\frac{28}{36}}=\pm\;\frac{2}{6}\sqrt{7}\\ \vspace{1pc}Akar\;x_{1}\\ \vspace{1pc}x-\frac{8}{6}=\frac{2}{6}\sqrt{7}\mapsto x=\frac{8}{6}+\frac{2}{6}\sqrt{7}=\frac{4}{3}+\frac{1}{3}\sqrt{7}\\ \vspace{1pc}Akar\;x_{2}\\ \vspace{1pc}x-\frac{8}{6}=-\frac{2}{6}\sqrt{7}\mapsto x=\frac{8}{6}-\frac{2}{6}\sqrt{7}=\frac{4}{3}-\frac{1}{3}\sqrt{7}

Contoh soal (4) berikut ini bisa diselesaikan dengan pemfaktoran dan melengkapkan kuadrat sempurna.

4x2 + x – 5 = 0

Penyelesaian:

 \vspace{1pc}4x^2+x-5 = 0\;(\div\;4)\\ \vspace{1pc} \frac{4x^2}{4}+\frac{x}{4} -\frac{5}{4}= \frac{0}{4} \\ \vspace{1pc} x^2+\frac{1}{4}x-\frac{5}{4}= 0\\ \vspace{1pc}x^2+\frac{1}{4}x=\frac{5}{4}\\ \vspace{1pc}x^2+\frac{1}{4}x+(\frac{1}{8})^2=\frac{5}{4}+(\frac{1}{8})^2\\ \vspace{1pc}x^2+2(\frac{1}{8})x+(\frac{1}{8})^2=\frac{5}{4}+\frac{1}{64}\\ \vspace{1pc}(x+\frac{1}{8})^2=\frac{80}{64}+\frac{1}{64}=\frac{81}{64}\\ \vspace{1pc}\sqrt{(x+\frac{1}{8})^2}=\sqrt{\frac{81}{64}}\\ \vspace{1pc}x+\frac{1}{8}=\pm\;\frac{9}{8}\\ \vspace{1pc}Akar\;x_{1}\\ \vspace{1pc}x+\frac{1}{8}=\frac{9}{8}\mapsto x=\frac{9}{8}-\frac{1}{8}=1\\ \vspace{1pc}Akar\;x_{2}\\ \vspace{1pc}x+\frac{1}{8}=-\frac{9}{8}\mapsto x=-\frac{9}{8}-\frac{1}{8}=-\frac{5}{4}

Ada cara lebih praktis selain metode pemfaktoran dan melengkapi kuadrat sempurna. Cara ini bisa digunakan untuk hampir seluruh persamaan kuadrat yaitu Rumus ABC.

Persamaan Kuadrat: Pemfaktoran>Melengkapi Kuadrat Sempurna>Rumus ABC

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *