Pertidaksamaan Pecahan Bentuk Kuadrat

Secara umum cara mencari himpunan penyelesaian pertidaksamaan pecahan bentuk kuadrat hampir sama dengan pertidaksamaan pecahan bentuk linear.

Hanya saja cara menyelesaikan pertidaksamaan pecahan ini mempunyai tanda segmen, segmen penyelesaian, dan himpunan penyelesaian yang lebih kompleks.

Seperti apa perbedaannya? silahkan baca lebih lanjut di pembahasan.

Cara Penyelesaian

Cara menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat bentuk pecahan, yaitu:

  1. Bentuk umum
  2. Akar-Akar pembilang
  3. Syarat penyebut
  4. Titik uji
  5. Tanda segmen
  6. Segmen penyelesaian
  7. Himpunan penyelesaian

Empat contoh soal pertidaksamaan dibahas secara bersamaan sedangkan contoh soal 5 dibahas dalam satu prosedur lengkap, yaitu:

1. Bentuk Umum

Empat bentuk umum pertidaksamaan pecahan bentuk linear:

pertidaksamaan pecahan bentuk kuadrat

\large \vspace {1pc} \frac{ax^2+bx+c}{dx^2+ex+f}>0 \\ \vspace {1pc} \frac{ax^2+bx+c}{dx^2+ex+f}<0 \\ \vspace {1pc} \frac{ax^2+bx+c}{dx^2+ex+f}\geq0 \\ \vspace {1pc} \frac{ax^2+bx+c}{dx^2+ex+f}\leq0

  • Pembilang = ax2 + bx + c
  • Penyebut = dx2 + ex + f
  • Syarat penyebut = dx2 + ex + f ≠ 0

Jika pertidaksamaan berupa bentuk umum, maka cara pengerjaan langsung ke langkah (2) akar-akar pembilang.

Namun, jika pertidaksamaan pada kedua ruas berbentuk pertidaksamaan pecahan bentuk linear, maka usahakan ruas kanan hanya berisi angka nol.

\large \vspace {1pc} \frac{ax+b}{cx+d}><\geq\leq\frac{ex+f}{gx+h}\\ \vspace{1pc}\frac{ax+b}{cx+d}-\frac{ex+f}{gx+h}><\geq\leq0\\ \frac{(ax+b)(gx+h)-(ex+f)(cx+d)(}{(cx+d)(gx+h)}><\geq\leq0

Kemudian sederhanakan pembilang dan biarkan penyebut dalam bentuk perkalian faktor.

Contoh 1 Contoh 2
\vspace {1pc} \frac{x^2+3x+2}{x^2+x - 6}<0\\Akar-akar\;pembilang \vspace {1pc} \frac{x+6}{3x^2-8x +4}\leq0\\Akar-akar\;pembilang
Contoh 3 Contoh 4
\vspace {1pc} \frac{x + 3}{3x -1}>\frac{1}{x-5}\\ \vspace {1pc }\frac{x + 3}{3x -1}-\frac{1}{x-5}>0\\ \vspace{1pc} \frac{(x+3)(x-5)-(3x-1)}{(3x-1)(x-5)}>0\\ \vspace{1pc} \frac{x^2-2x-15-(3x-1)}{(3x-1)(x-5)}>0\\ \vspace{1pc} \frac{x^2-2x-15-3x+1}{(3x-1)(x-5)}>0\\ \frac{x^2-5x-14}{(3x-1)(x-5)}>0 \vspace {1pc} \frac{2x+1}{x+2}\geq \frac{x-1}{x-3}\\ \vspace{1pc}\frac{2x+1}{x+2}-\frac{x-1}{x-3}\geq0\\ \vspace{1pc}\frac{(2x+1)(x-3)-(x-1)(x+2)}{(x+2)(x-3)}\geq0\\ \vspace{1pc}\frac{(2x^2-5x-3)-(x^2+x-2)}{(x+2)(x-3)}\geq0\\  \vspace{1pc}\frac{2x^2-5x-3-x^2-x+2}{(x+2)(x-3)}\geq0\\ \frac{x^2-6x-1}{(x+2)(x-3)}\geq0




2. Akar-Akar Pembilang

Hitung akar-akar pembilang pada contoh soal 3 seperti cara mencari akar-akar persamaan kuadrat.

Sedangkan contoh soal 4 akar-akar pembilang yang dituliskan merupakan hasil akhir cara melengkapkan kuadrat sempurna.

Setelah itu gambarkan kedua akar dalam garis bilangan dengan ketentuan:

  • Tanda < dan > dengan bulatan kosong (o).
  • Tanda ≤ dan ≥ dengan bulatan penuh.
Contoh 1 Contoh 2
\vspace {1pc} \frac{x^2+3x+2}{x^2+x - 6}<0\\ \vspace {1pc} Akar-akar\;pembilang \\ \vspace {1pc}x^2+3x+2<0\\ \vspace {1pc}(x+1)(x+2)<0\\ \vspace {1pc} x+1<0\mapsto x<-1 \\ \vspace {1pc} x+2<0\mapsto x<-2

pertidaksamaan pecahan bentuk kuadrat

\vspace {1pc} \frac{x+6}{3x^2-8x +4}\leq0\\ \vspace {1pc} Akar-akar\;pembilang \\ \vspace {1pc} x+6\leq 0\mapsto x\leq-6

pertidaksamaan pecahan bentuk kuadrat

Contoh 3 Contoh 4
\vspace {1pc}\frac{x^2-5x-14}{(3x-1)(x-5)}>0\\ \vspace {1pc} Akar-akar\;pembilang\\ \vspace{1pc} x^2-5x-14>0\\ \vspace{1pc}(x+2)(x-7)>0\\ \vspace{1pc} x+2>0\mapsto x>-2\\ \vspace{1pc} x-7>0\mapsto x>7

pertidaksamaan pecahan bentuk kuadrat

\vspace {1pc} \frac{x^2-6x-1}{(x+2)(x-3)}\geq0\\ \vspace {1pc} Akar-akar\;pembilang\\ \vspace{1pc}x\geq3+\sqrt{10}\\ \vspace{1pc}x\geq3-\sqrt{10}

pertidaksamaan pecahan bentuk kuadrat

3. Syarat Penyebut

Cara menghitung syarat penyebut untuk dua bentuk pertidaksamaan pecahan, yaitu:

Pertidaksamaan Kuadrat

\vspace{1pc} ax^2+bx+c\neq0 \\ \vspace{1pc} (x+m)(x+n)\neq0 \\ \vspace{1pc}x=-m\\x=-n

Perkalian Faktor

\vspace{1pc}(x+m)(x+n)\neq0 \\ \vspace{1pc}x=-m\\x=-n

Selanjutnya letakkan titik/akar dalam garis bilangan dengan bulatan kosong (o).

Contoh 1 Contoh 2
\vspace {1pc} \frac{x^2+3x+2}{x^2+x - 6}<0\\ \vspace {1pc} Akar-akar\;pembilang \\ \vspace {1pc}x^2+3x+2<0\\ \vspace {1pc}(x+1)(x+2)<0\\ \vspace {1pc} x+1<0\mapsto x<-1 \\ \vspace {1pc} x+2<0\mapsto x<-2\\ \vspace {1pc}Syarat\;Penyebut\\ \vspace{1pc}x^2+x - 6\neq0\\ \vspace {1pc}(x+3)(x-2)\neq0\\ \vspace {1pc}x+3\neq0\mapsto x\neq-3\\ \vspace {1pc}x-2\neq0\mapsto x\neq2

pertidaksamaan pecahan bentuk kuadrat

\vspace {1pc} \frac{x+6}{3x^2-8x +4}\leq0\\ \vspace {1pc} Akar-akar\;pembilang \\ \vspace {1pc} x+6\leq 0\mapsto x\leq-6\\ \vspace {1pc}Syarat\;penyebut\\ \vspace {1pc}3x^2-8x+4\neq0\\ \vspace {1pc}(3x-2)(x-2)\neq0\\ \vspace {1pc}3x-2\neq 0 \mapsto x\neq\frac{2}{3}\\ \vspace {1pc}x-2\neq0 \mapsto x\neq2

pertidaksamaan pecahan bentuk kuadrat

Contoh 3 Contoh 4
\vspace {1pc}\frac{x^2-5x-14}{(3x-1)(x-5)}>0\\ \vspace {1pc} Akar-akar\;pembilang\\ \vspace{1pc} x^2-5x-14>0\\ \vspace{1pc}(x+2)(x-7)>0\\ \vspace{1pc} x+2>0\mapsto x>-2\\ \vspace{1pc} x-7>0\mapsto x>7\\ \vspace{1pc}Syarat\;penyebut\\ \vspace{1pc}(3x-1)(x-5)\neq0\\ \vspace{1pc}3x-1\neq0\mapsto x\neq\frac{1}{3}\\ \vspace{1pc}x-5\neq0\mapsto x\neq5

pertidaksamaan pecahan bentuk kuadrat

\vspace {1pc} \frac{x^2-6x-1}{(x+2)(x-3)}\geq0\\ \vspace {1pc} Akar-akar\;pembilang\\ \vspace{1pc}x\geq3+\sqrt{10}\\ \vspace{1pc}x\geq3-\sqrt{10}\\ \vspace{1pc}Syarat\;penyebut\\ \vspace{1pc}(x+2)(x-3)\neq0\\ \vspace{1pc}x+2\neq0\mapsto x\neq-2\\ \vspace{1pc}x-3\neq0\mapsto x\neq3

pertidaksamaan pecahan bentuk kuadrat

4. Titik Uji

Caranya sama seperti sebelumnya, yaitu substitusikan titik uji x=0 ke pertidaksamaan pecahan.

Kemudian cari tahu tanda segmennya apakah bernilai positif atau negatif.

Contoh 1 Contoh 2
\vspace {1pc}Substitusi\;x=0\;ke\\ \vspace{1pc} \frac{x^2+3x+2}{x^2+x - 6}=\frac{0^2+3(0)+2}{0^2+0 - 6}=-\frac{1}{3}\\ \vspace {1pc}Segmen\;negatif

pertidaksamaan pecahan bentuk kuadrat

\vspace {1pc}Substitusi\;x=0\;ke \\ \vspace{1pc}\frac{x+6}{3x^2-8x+4}=\frac{0+6}{3(0)^2-8(0) +4}=\frac{3}{2}\\ \vspace {1pc}Segmen\;positif

pertidaksamaan pecahan bentuk kuadrat

Contoh 3 Contoh 4
\vspace {1pc}Substitusi\;x=0\;ke\\ \vspace{1pc}\frac{x^2-5x-14}{(3x-1)(x-5)}=\frac{0^2-5(0)-14}{(3(0)-1)((0)-5)}=-\frac{14}{5}\\ \vspace {1pc}Segmen\;negatif

pertidaksamaan pecahan bentuk kuadrat

\vspace {1pc}Substitusi\;x=0\;ke\\ \vspace{1pc} \frac{x^2-6x-1}{(x+2)(x-3)}=\frac{0^2-6(0)-1}{(0+2)(0-3)}=\frac{1}{6}\\ \vspace{1pc}Segmen\;positif

pertidaksamaan pecahan bentuk kuadrat

5. Tanda Segmen

Setelah salah satu segmen diketahui tandanya, maka keempat tanda segmennya dapat dicari melalui pola:

  • Positif-negatif-positif-negatif-positif, atau
  • Negatif-positif-negatif-positif-negatif
Contoh 1 Contoh 2
\vspace {1pc}\frac{x^2-5x-14}{(3x-1)(x-5)}<0

pertidaksamaan pecahan bentuk kuadrat

\vspace {1pc} \frac{x+6}{3x^2-8x +4}\leq0

pertidaksamaan pecahan bentuk kuadrat

Contoh 3 Contoh 4
\vspace {1pc}\frac{x^2-5x-14}{(3x-1)(x-5)}>0

pertidaksamaan pecahan bentuk kuadrat

\vspace {1pc} \frac{x^2-6x-1}{(x+2)(x-3)}\geq0

pertidaksamaan pecahan bentuk kuadrat

6. Segmen Penyelesaian

Segmen penyelesaian ditentukan oleh tanda pertidaksamaan, yaitu:

  • Tanda > dan ≥ pilih segmen positif
  • Tanda < dan ≤ pilih segmen negatif

Selain itu, segmen penyelesaian pada pertidaksamaan ini bisa terdiri dari dua atau tiga segmen penyelesaian.

Contoh 1 Contoh 2
\vspace {1pc}\frac{x^2-5x-14}{(3x-1)(x-5)}<0\\ \vspace{1pc}Tanda\;<0\\ Pilih\;segmen\;negatif

pertidaksamaan pecahan bentuk kuadrat

\vspace {1pc} \frac{x+6}{3x^2-8x +4}\leq0\\ \vspace{1pc}Tanda\;\leq0\\ Pilih\;segmen\;negatif

pertidaksamaan pecahan bentuk kuadrat

Contoh 3 Contoh 4
\vspace {1pc}\frac{x^2-5x-14}{(3x-1)(x-5)}>0\\ \vspace{1pc}Tanda\;>0\\ Pilih\;segmen\;positif

pertidaksamaan pecahan bentuk kuadrat

\vspace {1pc} \frac{x^2-6x-1}{(x+2)(x-3)}\geq0\\ \vspace{1pc}Tanda\;\geq0\\ Pilih\;segmen\;positif

pertidaksamaan pecahan bentuk kuadrat

7. Himpunan Penyelesaian

Gambar pola segmen penyelesaian cukup rumit, oleh karena itu untuk mempermudah cara membuat kalimat himpunan penyelesaian ikuti panduan berikut ini:

HP 1 HP 2
pertidaksamaan pecahan bentuk kuadrat

HP={x/x<a}

pertidaksamaan pecahan bentuk kuadrat

HP={x/x≤a}

HP 3 HP 4
pertidaksamaan pecahan bentuk kuadrat

HP={x/b<x<c}

pertidaksamaan pecahan bentuk kuadrat

HP={x/b≤x<c}

HP 5 HP 6
HP={x/b<x<c}

HP={x/b<x≤c}

pertidaksamaan pecahan bentuk kuadrat

HP={x/b≤x≤c}

HP 7 HP 8
pertidaksamaan pecahan bentuk kuadrat

HP={x/x>d}

pertidaksamaan pecahan bentuk kuadrat

HP={x/x≥d}

Tambahkan kata “atau” diantara segmen penyelesaian dalam kalimat himpunan penyelesaian.

Maka, dibawah ini himpunan penyelesaian dari empat contoh soal, yaitu:

Contoh 1 Contoh 2
pertidaksamaan pecahan bentuk kuadrat

HP={x/-3<x<-2 atau

-1<x<2}

pertidaksamaan pecahan bentuk kuadrat

HP={x/x≤-6 atau

2/3<x<2}

Contoh 3 Contoh 4
pertidaksamaan pecahan bentuk kuadrat

HP={x/x<-2 atau

1/3<x<5 atau x>7}

pertidaksamaan pecahan bentuk kuadrat

HP={x/x<-2 atau

3-√10≤x<3 atau x≥3+√10}

Contoh 5

Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan pecahan berikut ini!

\vspace{1pc}\frac{2x+3}{x+3}\leq\frac{x}{x+4}

Penyelesaian:

\vspace{1pc}\frac{2x+3}{x+3}\leq\frac{x}{x+4}\\ \vspace{1pc}\frac{2x+3}{x+3}-\frac{x}{x+4}\leq0\\ \vspace{1pc}\frac{(2x+3)(x+4)-x(x+3)}{(x+3)(x+4)}\leq0\\ \vspace{1pc}\frac{(2x^2+11x+12)-(x^2+3x)}{(x+3)(x+4)}\leq0\\ \vspace{1pc} \frac{x^2+8x+12}{(x+3)(x+4)}\leq0\\ \vspace{1pc}Akar-akar\;pembilang\\ \vspace{1pc}x^2+8x+12\leq0\\ \vspace{1pc}(x+2)(x+6)\leq0\\ \vspace{1pc}x+2\leq0\mapsto x\leq-2\\ \vspace{1pc}x+6\leq0\mapsto x\leq-6\\ \vspace{1pc}Syarat\;penyebut\\ \vspace{1pc}(x+3)(x+4)\neq0\\ \vspace{1pc}x+3\neq0\mapsto x\neq-3\\ \vspace{1pc}x+4\neq0\mapsto x\neq-4

pertidaksamaan pecahan bentuk kuadrat

\vspace{1pc}Titik\;uji\\ \vspace{1pc}Substitusi\;x=0\\ \vspace{1pc}\frac{x^2+8x+12}{(x+3)(x+4)}=\frac{0^2+8(0)+12}{(0+3)(0+4)}=1\\ \vspace{1pc}Segmen\;positif

pertidaksamaan pecahan bentuk kuadrat

Tanda\;segmen

pertidaksamaan pecahan bentuk kuadrat

\vspace{1pc}Segmen\;penyelesaian\\ \vspace{1pc}\frac{x^2+8x+12}{(x+3)(x+4)}\leq0\\ \vspace{1pc}Tanda\leq0,\\ \vspace{1pc}Pilih\;segmen\;negatif

pertidaksamaan pecahan bentuk kuadrat

HP=\left\{x/-6\leq x<-4\;atau\;-3<x \leq-2 \right\}

Persamaan Kuadrat>Pertidaksamaan Kuadrat>Pertidaksamaan Pecahan Bentuk Linear>Pertidaksamaan Pecahan Bentuk Kuadrat

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *