Pertidaksamaan Pecahan Bentuk Linear

Pertidaksamaan pecahan atau pertidaksamaan rasional terdiri dari dua macam, yaitu:

  1. Pertidaksamaan pecahan bentuk linear
  2. Pertidaksamaan pecahan bentuk kuadrat

Pada pertidaksamaan pecahan bentuk linear, pembilang dan penyebut tentu saja berbentuk pertidaksamaan linear.

Sedangkan pertidaksamaan pecahan bentuk kuadrat, pembilang dan penyebut tidak hanya berupa pertidaksamaan kuadrat, akan tetapi bisa berupa pertidaksamaan linear.

Bilangan Pecahan

Bilangan pecahan termasuk bilangan rasional yaitu bilangan yang dapat dinyatakan dengan \large \frac{a}{b}.

  • “a” sebagai pembilang
  • “b” sebagai penyebut
  • a bukan kelipatan b
  • b ≠ 0

Kenapa penyebut harus tidak sama dengan nol (b ≠ 0)?

Karena jika penyebut = 0, maka bilangan pecahan menjadi \large \frac{a}{0}=tidak\;terdefinisi.

Konsep syarat penyebut inilah yang mendasari konsep syarat penyebut dalam pertidaksamaan.

Pertidaksamaan Pecahan Bentuk Linear

Terdapat empat bentuk umum, yaitu:

\large \vspace {1pc} \frac{ax+b}{cx+d}>0 \\ \vspace {1pc} \frac{ax+b}{cx+d}<0 \\ \vspace {1pc} \frac{ax+b}{cx+d}\geq 0 \\ \frac{ax+b}{cx+d}\leq 0

  • Pembilang = ax + b
  • Penyebut = cx + d
  • Syarat penyebut = cx + d ≠ 0




Cara Penyelesaian

Langkah-langkah menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan pecahan bentuk linear, yaitu:

  1. Pembuat nol pembilang
  2. Syarat penyebut
  3. Titik uji
  4. Tanda segmen
  5. Segmen penyelesaian
  6. Himpunan penyelesaian

Dari enam langkah penyelesaian yang saya sebutkan diatas, tiga langkah diantaranya secara sederhana digambarkan berikut ini.

pertidaksamaan linear pecahan

Pembahasan cara penyelesaian pertidaksamaan pecahan bentuk linear menggunakan empat contoh soal untuk memperjelas langkah penyelesaian.

1. Pembuat nol pembilang

Langkah pertama ini terdiri dari dua bagian, yaitu bagian pertama menghitung pembuat nol pembilang.

ax + b > < ≥ ≤ 0

ax > < ≥ ≤ -b

x > < ≥ ≤ -b/a

Bagian kedua menggambarkan titik dalam garis bilangan, yaitu:

  • Jika tanda > dan < menggunakan bulatan kosong (o),
  • Sedangkan untuk tanda ≥ dan ≤ dengan bulatan penuh.
Contoh 1 Contoh 2
\vspace {1pc} \frac{x + 1}{x - 2}> 0 \\ \vspace {1pc} Pembuat\;nol \;pembilang \\ x + 1 > 0 \mapsto x >-1

pertidaksamaan linear pecahan

\vspace {1pc} \frac{x - 3}{2x + 7}\leq 0 \\x - 3 \leq 0 \mapsto x\leq 3

pertidaksamaan linear pecahan

Contoh 3 Contoh 4
\vspace {1pc} \frac{3x + 4}{4x + 6}< 0 \\ 3x + 4 < 0 \mapsto x <-\frac{4}{3}

pertidaksamaan linear pecahan

\vspace {1pc} \frac{2x - 5}{3x - 1}\geq 0 \\2x - 5 \geq 0 \mapsto x\geq \frac{5}{2}

pertidaksamaan linear pecahan

 

2. Syarat Penyebut

Hanya ada satu syarat penyebut yang digunakan untuk empat bentuk umum pertidaksamaan pecahan bentuk linear, yaitu:

cx + d ≠ 0

cx ≠ -d

x ≠ -d/c

Dalam garis bilangan, titik syarat penyebut digambarkan dengan bulatan kosong (o). Dan ingat letakkan bilangan yang lebih kecil disebelah kiri.

Contoh 1 Contoh 2
\vspace {1pc} \frac{x + 1}{x - 2}> 0 \\ \vspace {1pc} Pembuat\;nol\;pembilang \\ \vspace {1pc} x + 1 > 0 \mapsto x <-1 \\ \vspace {1pc} Syarat\;penyebut \\ \vspace {1pc} x - 2 \neq 0 \mapsto x \neq 2

pertidaksamaan linear pecahan

\vspace {1pc} \frac{x - 3}{2x + 7}\leq 0 \\ \vspace {1pc} x - 3 \leq 0 \mapsto x\leq 3 \\ \vspace {1pc} 2x + 7 \neq 0 \mapsto x \neq -\frac{7}{2}

pertidaksamaan linear pecahan

Contoh 3 Contoh 4
\vspace {1pc} \frac{3x + 4}{4x + 6}< 0 \\ \vspace {1pc} 3x + 4 < 0 \mapsto x <-\frac{4}{3} \\ 4x + 6 \neq 0 \mapsto x \neq -\frac{3}{2}

pertidaksamaan linear pecahan

\vspace {1pc} \frac{2x - 5}{3x - 1}\geq 0 \\ \vspace {1pc} 2x - 5 \geq 0 \mapsto x\geq -\frac{5}{2} \\ 3x - 1 \neq 0 \mapsto x \neq \frac{1}{3}

pertidaksamaan linear pecahan

 

3. Titik Uji

Seperti pada persamaan kuadrat, cara termudah dalam menentukan tanda segmen adalah menggunakan titik nol sebagai titik uji.

Caranya substitusikan x=0 ke pertidaksamaan, dan hasil yang kita cari hanya ada dua kemungkinan yaitu bernilai positif atau negatif.

Contoh 1 Contoh 2
\vspace {1pc} substitusi\;x = 0 \\ \vspace {1pc} \frac{x + 1}{x - 2} = \frac{0 + 1}{0 - 2} = -\frac {1}{2} \\ Segmen\;negatif

pertidaksamaan linear bentuk pecahan

\vspace {1pc} substitusi\;x = 0 \\ \vspace {1pc} \frac{x - 3}{2x + 7} = \frac{0 - 3}{2(0) + 7} = -\frac {3}{7} \\ Segmen\;negatif

pertidaksamaan linear bentuk pecahan

Contoh 3 Contoh 4
\vspace {1pc} substitusi\;x = 0 \\ \vspace {1pc} \frac{3x + 4}{4x + 6} = \frac{3(0) + 4}{4(0) + 6} = \frac {2}{3} \\ Segmen\;positif

pertidaksamaan linear bentuk pecahan

\vspace {1pc} substitusi\;x = 0 \\ \vspace {1pc} \frac{2x - 5}{3x - 1} = \frac{2(0) - 5}{3(0) - 1} = 5 \\ Segmen\;positif

pertidaksamaan linear bentuk pecahan

 

4. Tanda Segmen

Dari hasil titik uji diketahui salah satu tanda segmen, maka untuk dua segmen lainnya dapat dicari dengan pola urutan tanda segmen, yaitu:

pertidaksamaan kuadrat koefisien a positif

Positif-Negatif-Positif

 

Contoh 1 Contoh 2
\vspace {1pc} \frac{x + 1}{x - 2}> 0 \\ \vspace {1pc} Pembuat\;nol\;pembilang \\ \vspace {1pc} x + 1 > 0 \mapsto x <-1 \\ \vspace {1pc} Syarat\;penyebut \\ \vspace {1pc} x - 2 \neq 0 \mapsto x \neq 2 \\ \vspace{1pc} Titik\;uji \\ \vspace {1pc} x = 0 \\ \vspace {1pc} \frac{x + 1}{x - 2} = \frac{0 + 1}{0 - 2} = -\frac {1}{2} \\ Tanda\;segmen

pertidaksamaan linear bentuk pecahan

\vspace {1pc} \frac{x - 3}{2x + 7}\leq 0 \\ \vspace {1pc} x - 3 \leq 0 \mapsto x\leq 3 \\ \vspace {1pc} 2x + 7 \neq 0 \mapsto x \neq -\frac{7}{2} \\ \vspace {1pc} x = 0 \\ \vspace {1pc} \frac{x - 3}{2x + 7} = \frac{0 - 3}{2(0) + 7} = -\frac {3}{7} \\ Tanda\;segmen

Pertidaksamaan linear bentuk pecahan

Contoh 3 Contoh 4
\vspace {1pc} \frac{3x + 4}{4x + 6}< 0 \\ \vspace {1pc} 3x + 4 < 0 \mapsto x <-\frac{4}{3} \\ 4x + 6 \neq 0 \mapsto x \neq -\frac{3}{2} \\ \vspace {1pc} x = 0 \\ \vspace {1pc} \frac{3x + 4}{4x + 6} = \frac{3(0) + 4}{4(0) + 6} = \frac {2}{3} \\ Tanda\;segmen

pertidaksamaan linear bentuk pecahan

 

\vspace {1pc} \frac{2x - 5}{3x - 1}\geq 0 \\ \vspace {1pc} 2x - 5 \geq 0 \mapsto x\geq -\frac{5}{2} \\ 3x - 1 \neq 0 \mapsto x \neq \frac{1}{3}\vspace {1pc} x = 0 \\ \vspace {1pc} \frac{2x - 5}{3x - 1} = \frac{2(0) - 5}{3(0) - 1} = 5 \\ Tanda\;segmen

pertidaksamaan linear bentuk pecahan

 

5. Segmen Penyelesaian

Tanda pertidaksamaan menentukan segmen penyelesaian, yaitu:

  • Tanda > dan ≥, himpunan penyelesaiannya adalah segmen bernilai positif.
  • Tanda < dan ≤, himpunan penyelesaiannya adalah segmen bernilai negatif.
Contoh 1 Contoh 2
\vspace {1pc} \frac{x + 1}{x - 2}> 0 \\ \vspace {1pc} Tanda>0,\\  Pilih\;segmen\;positif

pertidaksamaan linear bentuk pecahan

\vspace {1pc} \frac{x - 3}{2x + 7}\leq 0 \\ \vspace {1pc} Tanda\leq0,\\ Pilih\;segmen\;negatif

pertidaksamaan linear bentuk pecahan

Contoh 3 Contoh 4
\vspace {1pc} \frac{3x + 4}{4x + 6}< 0 \\ \vspace {1pc} Tanda<0,\\  Pilih\;segmen\;negatif

pertidaksamaan linear bentuk pecahan

\vspace {1pc} \frac{2x - 5}{3x - 1}\geq 0 \\ \vspace {1pc} Tanda\geq0,\\ Pilih\;segmen\;positif

pertidaksamaan linear bentuk pecahan

 

6. Himpunan Penyelesaian

Perhatikan gambar segmen penyelesaian dalam menentukan himpunan penyelesaian, yaitu:

HP 1 HP 2

HP={x/a<x<b}

pertidaksamaan linear bentuk pecahan

HP={x/a≤x<b}

HP 3 HP 4
pertidaksamaan linear bentuk pecahan

HP={x/a<x≤b}

pertidaksamaan kuadrat

HP={x/x<a atau x>b}

HP 5 HP 6
pertidaksamaan linear bentuk pecahan

HP={x/x≤a atau x>b}

pertidaksamaan linear bentuk pecahan

HP={x/x<a atau x≥b}

Perhatikan pula bulatan kosong untuk menyatakan tanda < atau > dan bulatan penuh untuk tanda ≥ atau ≤.

Maka, himpunan penyelesaian dari empat contoh soal yang kita bahas, yaitu:

Contoh 1 Contoh 2
\vspace {1pc} \frac{x + 1}{x - 2}> 0

pertidaksamaan linear bentuk pecahan

HP={x/x<-1 atau x>2}

\vspace {1pc} \frac{x - 3}{2x + 7}\leq 0

pertidaksamaan linear bentuk pecahan

HP={x/ -7/2<x≤3}

Contoh 3 Contoh 4
\vspace {1pc} \frac{3x + 4}{4x + 6}< 0

pertidaksamaan linear bentuk pecahan

HP={x/ -3/2<x<-4/3}

\vspace {1pc} \frac{2x - 5}{3x - 1}\geq 0

pertidaksamaan linear bentuk pecahan

HP={x/x<1/3 atau x≥5/2}

 

Tanda pertidaksamaan harus berubah/diganti/berbalik jika pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan negatif.

Hal tersebut sudah seringkali dijelaskan namun kita juga seringkali lupa dengan aturan tersebut.

Contoh Soal 5

Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut ini!

\large \frac{-x + 2}{-3x + 9}\geq0

Penyelesaian:

\vspace {1pc} \frac{-x + 2}{-3x + 6}\geq0 \\ \vspace {1pc} -x + 2 \geq0 \\ \vspace {1pc} -x \geq-2\; (\times-1) \\ \vspace {1pc} x\leq2 \\ \vspace {1pc} -3x + 9 \neq 0 \mapsto x \neq 3

pertidaksamaan linear bentuk pecahan

\vspace {1pc} substitusi\;x=0\mapsto \frac{-x + 2}{-3x + 6}=\frac{-0 + 2}{-3(0) + 6}=\frac{1}{3} \\ Segmen\;positif

pertidaksamaan linear bentuk pecahan

Tanda\;segmen

pertidaksamaan linear bentuk pecahan

Tanda\;\geq0,\;pilih\;segmen\;positif

pertidaksamaan linear bentuk pecahan

HP={x/x\leq2\;atau\;x>0}

Pada dasarnya langkah penyelesaian pertidaksamaan pecahan bentuk linear sama dengan pertidaksamaan pecahan bentuk kuadrat.

Lalu apa yang membedakannya?

Persamaan Kuadrat > Pertidaksamaan Kuadrat > Pertidaksamaan Pecahan Bentuk Linear > Pertidaksamaan Pecahan Bentuk Kuadrat

 

 

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *