Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat

Mengapa cara penyelesaian pertidaksamaan kuadrat yang dijelaskan di buku atau disaat pelajaran matematika SMA begitu mudah?

Sedangkan ketika kita mencoba mengerjakan, soal-soal latihan terasa sulit?

Jawabannya yaitu karena cara yang dijelaskan adalah cara singkat.

Cara singkat memang praktis, tapi ada beberapa tahap penyelesaian yang tidak dibahas dengan jelas.

Oleh karena itu, berikut ini urutan lengkap cara penyelesaian pertidaksamaan kuadrat, yaitu:

  1. Bentuk umum
  2. Akar-akar pertidaksamaan kuadrat
  3. Garis bilangan
  4. Titik uji
  5. Tanda segmen
  6. Segmen penyelesaian
  7. Kalimat himpunan penyelesaian

Pembahasan cara penyelesaian dan contoh soal pertidaksamaan kuadrat menggunakan dua cara yaitu cara detail dan singkat.

Cara Pertama: Detail

Lima contoh soal dengan koefisien “a” bernilai positif dan diskriminan > 0 dibahas secara bersamaan agar tujuh langkah pengerjaan bisa dipelajari dan dipahami secara rinci, yaitu:

  1. Bentuk Umum

Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat dengan koefisien a, b, c ∈ R, a≠0 yaitu:

ax2 + bx + c > 0

ax2 + bx + c < 0

ax2 + bx + c ≥ 0

ax2 + bx + c ≤ 0

ax2 + bx + c ≠ 0

Terkadang soal pertidaksamaan kuadrat mempunyai bentuk yang berbeda dengan bentuk umum.

Maka, hal pertama yang dilakukan yaitu ubah/sederhanakan pertidaksamaan kuadrat menjadi bentuk umum.

Contoh 1 Contoh 2
x2 – 5x – 6 > 0 4x2 + x ≤ 5

4x2 + x – 5 ≤ 0

Contoh 3 Contoh 4
x2 – 8x + 3 < -x – 9

x2 – 8x + x + 3 + 9 < 0

x2 – 7x + 12 < 0

-x2 – 3x + 2 ≥ -3x2 – 9x + 10

-x2 + 3x– 3x + 9x + 2 – 10 ≥ 0

2x2 + 6x – 8 ≥ 0

Contoh 5
3x2 + 10x – 7 ≠ -10

3x2 + 10x – 7 + 10 ≠ 0

3x2 + 10x + 3 ≠ 0


2. Akar-Akar Pertidaksamaan

Cara mencari nilai akar-akar petidaksamaan kuadrat sama dengan cara mencari akar-akar Persamaan Kuadrat Metode Pemfaktoran.

Contoh 1 Contoh 2
x2 – 5x – 6 > 0

(x + 1) (x – 6) > 0

x + 1 = 0 ⇒ x = -1

x – 6 = 0 ⇒ x = 6

4x2 + x – 5 ≤ 0

4 (x – 1) (x + 5/4) ≤ 0

x – 1 = 0 ⇒ x = 1

x + 5/4 = 0 ⇒ x = -5/4

Contoh 3 Contoh 4
x2 – 9x + 12 < 0

(x – 3) (x – 4) < 0

x – 3 = 0 ⇒ x = 3

x – 4 = 0 ⇒ x = 4

2x2 + 6x – 8 ≥ 0

2 (x – 1) (x + 4) ≥ 0

x – 1 = 0 ⇒ x = 1

x + 4 = 0 ⇒ x = -4

Contoh 5
 3x2 + 10x + 3 ≠ 0

3 (x + 1/3) (x + 3) ≠ 0

x + 1/3 = 0 ⇒ x = -1/3

x + 3 = 0 ⇒ x = -3


3. Garis Bilangan

Kedua nilai akar pertidaksamaan kuadrat diubah menjadi dua titik dalam garis bilangan.

Letakkan bilangan yang lebih kecil di sebelah kiri, sedangkan bilangan yang lebih besar berada di sebelah kanan.

Dan jangan lupa perhatikan dimana nantinya posisi angka nol.

Untuk tanda pertidaksamaan >, <, dan ≠ gunakan bulatan kosong (ο).

Sedangkan untuk tanda pertidaksamaan ≥ dan ≤ gunakan bulatan penuh.

Contoh 1 Contoh 2
x2 – 5x – 6 > 0

(x + 1) (x – 6) > 0

x + 1 = 0 ⇒ x = -1

x – 6 = 0 ⇒ x = 6

Pertidaksamaan Kuadrat

4x2 + x – 5 ≤ 0

4 (x – 1) (x + 5/4) ≤ 0

x – 1 = 0 ⇒ x = 1

x + 5/4 = 0 ⇒ x = -5/4

pertidaksamaan kuadrat

Contoh 3 Contoh 4
x2 – 9x + 12 < 0

(x – 3) (x – 4) < 0

x – 3 = 0 ⇒ x = 3

x – 4 = 0 ⇒ x = 4

pertidaksamaan kuadrat

2x2 + 6x – 8 ≥ 0

2 (x – 1) (x + 4) ≥ 0

x – 1 = 0 ⇒ x = 1

x + 4 = 0 ⇒ x = -4

pertidaksamaan kuadrat

Contoh 5
 3x2 + 10x + 3 ≠ 0

3 (x + 1/3) (x + 3) ≠ 0

x + 1/3 = 0 ⇒ x = -1/3

x + 3 = 0 ⇒ x = -3

pertidaksamaan kuadrat






4. Titik Uji

Kita bisa menggunakan sembarang titik uji untuk mengetahui tanda suatu interval bernilai positif atau negatif.

Namun, cara yang paling mudah adalah menggunakan titik nol (0) sebagai titik uji.

Caranya substitusikan nilai x = 0 ke dalam pertidaksamaan, lalu hitung hasilnya.

Jangan terpaku dengan besarnya nilai yang dihasilkan, akan tetapi perhatikan tandanya saja.

Sekali lagi, perhatikan tandanya saja apakah hasilnya Positif atau Negatif.

Contoh 1 Contoh 2
x2 – 5x – 6 > 0

substitusi x = 0

x2 – 5x – 6 = 02 – 5(0) – 6

= -6 (negatif)

pertidaksamaan kuadrat

4x2 + x – 5 ≤ 0

substitusi x = 0

4x2 + x – 5 = 4(0)2 + 0 – 5

= -5 (negatif)

pertidaksamaan kuadrat

Contoh 3 Contoh 4
x2 – 9x + 12 < 0

substitusi x = 0

x2 – 9x + 12 = 02 – 9(0) + 12

= 12 (positif)

pertidaksamaan kuadrat

2x2 + 6x – 8 ≥ 0

substitusi x = 0

2x2 + 6x – 8 = 2(0)2 + 6(0) – 8

= -8 (negatif)

pertidaksamaan kuadrat

Contoh 5
 3x2 + 10x + 3 ≠ 0

substitusi x = 0

3x2 + 10x + 3 = 3(0)2 + 10(0) + 3

= 3 (positif)

pertidaksamaan kuadrat


5. Tanda Segmen

Jika salah satu segmen sudah diketahui tandanya (positif atau negatif), maka tanda dua segmen lainnya bisa diketahui melalui dua pola berikut:

a. Koefisien “a” positif, maka pola tanda segmen adalah positif – negatif – positif.

pertidaksamaan kuadrat koefisien a positif

b. Koefisien “a” negatif, maka polanya yaitu negatif – positif – negatif. (dicontohkan dalam cara singkat)

pertidaksamaan kuadrat koefisien a negatif

Dengan menggunakan dua pola tersebut, kita bisa saja tidak menghitung titik uji.

Karena hanya dengan mengetahui nilai koefisien “a” kita bisa mengetahui tanda segmen.

Contoh 1 Contoh 2
x2 – 5x – 6 > 0

(x + 1) (x – 6) > 0

x + 1 = 0 ⇒ x = -1

x – 6 = 0 ⇒ x = 6

Pertidaksamaan Kuadrat

4x2 + x – 5 ≤ 0

4 (x – 1) (x + 5/4) ≤ 0

x – 1 = 0 ⇒ x = 1

x + 5/4 = 0 ⇒ x = -5/4

pertidaksamaan Kuadrat

Contoh 3 Contoh 4
x2 – 9x + 12 < 0

(x – 3) (x – 4) < 0

x – 3 = 0 ⇒ x = 3

x – 4 = 0 ⇒ x = 4

pertidaksamaan kuadrat

2x2 + 6x – 8 ≥ 0

2 (x – 1) (x + 4) ≥ 0

x – 1 = 0 ⇒ x = 1

x + 4 = 0 ⇒ x = -4

pertidaksamaan kuadrat

Contoh 5
 3x2 + 10x + 3 ≠ 0

3 (x + 1/3) (x + 3) ≠ 0

x + 1/3 = 0 ⇒ x = -1/3

x + 3 = 0 ⇒ x = -3

pertidaksamaan kuadrat


6. Segmen Penyelesaian

Tanda pertidaksamaan menentukan segmen penyelesaian, yaitu:

  • Tanda > dan ≥, himpunan penyelesaiannya adalah segmen bernilai positif.
  • Tanda < dan ≤, himpunan penyelesaiannya adalah segmen bernilai negatif.
  • Tanda ≠, himpunan penyelesaiannya adalah semua segmen kecuali dua titik/nilai akar.
Contoh 1 Contoh 2
x2 – 5x – 6 > 0

tanda “>0“, pilih positif (+)

pertidaksamaan kuadrat

4x2 + x – 5 ≤ 0

tanda “≤0“, pilih negatif (-)

Pertidaksamaan kuadrat

Contoh 3 Contoh 4
x2 – 7x + 12 < 0

tanda “<0“, pilih negatif (-)

2x2 + 6x – 8 ≥ 0

tanda “≥0“, pilih positif (+)

pertidaksamaan kuadrat

Contoh 5
3x2 + 10x + 3 ≠ 0

tanda “≠0“, pilih semua segmen

pertidaksamaan kuadrat


7. Kalimat Himpunan Penyelesaian

Bentuk kalimat himpunan penyelesaian berdasarkan gambar segmen penyelesaian, yaitu:

HP={x/a<x<b} (benar)

HP={x/a>x>b} (salah)

HP={x/x>a atau x<b} (salah)

pertidaksamaan kuadrat

HP={x/a≤x≤b} (benar)

HP={x/a<x<b} (salah)

HP={x/x≥a atau x≤b} (salah)

pertidaksamaan kuadrat

HP={x/x<a atau x>b} (benar)

HP={x/a<x<b} (salah)

HP={x/x>a atau x<b} (salah)

pertidaksamaan kuadrat

HP={x/x≤a atau x≥b} (benar)

HP={x/x<a atau x>b} (salah)

HP={x/a≤x≤b} (salah)

Contoh 1 Contoh 2
x2 – 5x – 6 > 0

pertidaksamaan kuadrat

HP = {x/x<-1 atau x>6}

4x2 + x – 5 ≤ 0

Pertidaksamaan kuadrat

HP = {x/ -5/4≤x≤1}

Contoh 3 Contoh 4
x2 – 7x + 12 < 0

HP = {x/ 3<x<4}

2x2 + 6x – 8 ≥ 0

pertidaksamaan kuadrat

HP = {x/x≤-4 atau x≥1}

Contoh 5
3x2 + 10x + 3 ≠ 0

pertidaksamaan kuadrat

HP = {x/x≠-3 atau x≠-1/3}

 

Cara Kedua: Singkat

Pembahasan kedua menggunakan empat contoh soal pertidaksamaan kuadrat dengan nilai koefisien a negatif dan diskriminan > 0 serta mempunyai pola tanda segmen negatif – positif – negatif.

pertidaksamaan kuadrat koefisien a negatif

Dari empat contoh soal, contoh soal 6 mempunyai pembahasan yang lengkap, sedangkan contoh soal 7, 8, dan 9 secara perlahan berubah menjadi cara singkat.

Contoh Soal 6

3x – 2 < x2

-x2 + 3x – 2 < 0 …..sederhanakan

(x – 1)(x – 2) < 0 …..akar pertidaksamaan

x – 1 = 0 ⇒ x = 1

x – 2 = 0 ⇒ x = 2

pertidaksamaan kuadrat
Garis Bilangan

substitusi x = 0

-x2 + 3x – 2 = -(0)2 + 3(0) – 2

= -2 (negatif)

pertidaksamaan kuadrat
Titik Uji
pertidaksamaan kuadrat
Tanda segmen

-x2 + 3x – 2 < 0

tanda <0, pilih segmen negatif

pertidaksamaan kuadrat
Segmen HP

HP = {x/x<1 atau x>2}

 

Contoh Soal 7

Garis bilangan dan titik uji digabungkan dalam satu gambar sehingga langkah penyelesaian sedikit lebih sederhana.

-2x2 +7x + 4 ≥ 0

-2 (x + 1/2)(x – 4) ≥ 0

x + 1/2 = 0 ⇒ x = -1/2

x – 4 = 0 ⇒ x = 4

substitusi x = 0

-2x2 +7x + 4 = -2(0)2 +7(0) + 4

= 4 (positif)

pertidaksamaan kuadrat

pertidaksamaan kuadrat

-2x2 +7x + 4 ≥ 0

tanda ≥ 0, pilih segmen positif

pertidaksamaan kuadratHP = {x/ -1/2≤x≤4}

Contoh Soal 8

Garis bilangan dan titik uji tidak dihitung, karena seperti yang saya katakan sebelumnya koefisien “a” negatif mempunyai pola tanda segmen negatif – positif – negatif.

-3x2 – 7x – 2 > 0

-3 (x + 1/3)(x + 2) > 0

x + 1/3 = 0 ⇒ x = -1/3

x + 2 = 0 ⇒ x = -2

pertidaksamaan kuadrat

tanda >0, pilih segmen positif

pertidaksamaan kuadrat

HP = {x/ -2<x<-1/3}

Contoh Soal 9

Langkah tanda segmen dan segmen penyelesaian digabungkan. Maka, diperoleh cara singkat pertidaksamaan kuadrat.

-4x2 – 5x + 6 ≤ 0

-4 (x – 3/4)(x + 2) ≤ 0

x – 3/4 = 0 ⇒ x = 3/4

x + 2 = 0 ⇒ x = -2

tanda ≤0, pilih segmen negatif

pertidaksamaan kuadratHP = {x/ x≤-2 atau x≥3/4}

 

 

Kesimpulan

Dua kunci utama penyelesaian pertidaksamaan kuadrat:

  1. Tanda segmen untuk koefisien “a” positif (positif – negatif – positif) dan negatif (negatif – positif – negatif).
  2. Tanda pertidaksamaan > dan ≥ pilih segmen positif, serta tanda < dan ≤ pilih segmen negatif.

Persamaan Kuadrat>Pertidaksamaan Kuadrat>Pertidaksamaan Linear Bentuk Pecahan > Pertidaksamaan Kuadrat Bentuk Pecahan

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *