Integral Luas Daerah Antara Kurva Fungsi Kuadrat dan Sumbu x

Integral luas daerah antara kurva parabola dan sumbu x memiliki lebih banyak bentuk dan posisi kurva dibandingkan luas daerah kurva fungsi konstan dan fungsi linear.

Penyebabnya adalah interval batas [a, b], nilai koefisien a, dan nilai diskriminan.

Berikut ini garis besar pembahasan cara menghitung luas daerah dengan integral tentu, yaitu:

A. Batas a dan b tidak diketahui

  • Kurva Di Atas Sumbu x
  • Kurva Di Bawah Sumbu x

B. Batas a dan b diketahui

  • Diskriminan D < 0
  • Diskriminan D = 0
  • Diskriminan D > 0

Fungsi Kuadrat

Bentuk umum y=f(x)=ax^{2}+bx+c

Agar tidak tertukar dalam contoh soal dan pembahasan, saya akan membedakan a dan b sebagai batas dengan sebutan “batas a” dan “batas b”.

Kemudian a sebagai nilai koefisien x^{2} dengan sebutan “Koefisien a” dan b sebagai koefisien x dengan sebutan “koefisien b”.

Contoh: Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva y=x^{2}+3x-2, batas -3 dan -1 serta sumbu x!

Maka koefisien a = 1, koefisien b = 3 dan c = -2

Batas a = -3 dan batas b = -1

Batas a dan b Tidak Diketahui

Hal pertama dalam menentukan luas daerah dengan batas a dan b tidak diketahui adalah mencari akar-akar persamaan kuadrat.

Akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah batas a dan b yang dimaksud.

Titik potong (x1, y1), maka batas a = x1

Titik potong (x2, y2), maka batas b = x2

integral luas daerah batas tidak diketahui

Rumus Integral Luas Daerah

Kurva Di Atas Sumbu x

 Kurva Di Bawah Sumbu x

\LARGE L=\int_{x_{1}}^{x_{2}}f(x)\,dx

\LARGE L=\int_{x_{2}}^{x_{1}}f(x)\,dx

Contoh soal: Kurva di atas sumbu x

Tentukan luas daerah yang dibatasi sumbu x dan kurva y=-2x^{2}+2x+4!

Penyelesaian:

Koefisien a = -2  b = 2   c = 4

\vspace{1pc} D=b^{2}-4ac \\ \vspace{1pc} D= 2^{2}-4(-2)(4) = 36 \\ \vspace{1pc} D>0

(Note: Dalam penyelesaian soal, nilai diskriminan bisa saja tidak dihitung. Perhitungan diatas hanya untuk menunjukan nilai D > 0. Sebaliknya, jika nilai D ≤ 0 maka daerah tersebut tidak mempunyai luas.)

Titik potong sumbu x, maka y = 0

\vspace{1pc} y=0 \\ \vspace{1pc} -2x^{2}+2x+4=0 \\ \vspace{1pc} (-2x+4)\,(x+1)=0 \\ \vspace{1pc} -2x+4=0 \mapsto x=2 \\ \vspace{1pc} x+1=0 \mapsto x=-1

Titik potong (-1, 0) dan (2, 0), maka batas a = x1 = -1 dan b = x2 = 2

kuad 1

\vspace{1pc} L=\int_{x_{1}}^{x_{2}}f(x)\,dx \\ \vspace{1pc} L=\int_{-1}^{2}-2x^{2}+2x+4\,dx \\ \vspace{1pc} L=[-\frac{2}{3}x^{3}+x^{2}+4x]_{-1}^{2} \\ \vspace{1pc} L=(-\frac{2}{3}2^{3}+2^{2}+4(2))-(-\frac{2}{3}(-1)^{3}+(-1)^{2}+4(-1)) \\ \vspace{1pc} L=\frac{20}{3}-(-\frac{7}{3})=9\,satuan\,luas

Contoh soal: Kurva di bawah sumbu x

Berapakah luas daerah yang dibatasi kurva y=x^{2}-8x+12 dan sumbu x!

Penyelesaian:

Koefisien a = 1    b = -8    c = 12

\vspace{1pc} D=b^{2}-4ac \\ \vspace{1pc} D= (-8)^{2}-4(1)(12) = 16 \\ \vspace{1pc} D>0

Titik potong sumbu x, maka y = 0

\vspace{1pc} y=0 \\ \vspace{1pc} x^{2}-8x+12=0 \\ \vspace{1pc} (x-2)\,(x-6)=0 \\ \vspace{1pc} x-2=0 \mapsto x=2 \\ \vspace{1pc} x-6=0 \mapsto x=6

Titik potong (2, 0) dan (6, 0), maka batas a = x1 = 2 dan b = x2 = 6

integral luas daerah batas a dan b tidak diketahui

\vspace{1pc} L=\int_{x_{2}}^{x_{1}}f(x)\,dx \\ \vspace{1pc} L=\int_{6}^{2}x^{2}-8x+12\,dx \\ \vspace{1pc} L=[\frac{1}{3}x^{3}-4x^{2}+12x]_{6}^{2} \\ \vspace{1pc} L=(\frac{1}{3}(2)^{3}-4(2)^{2}+12(2))-(\frac{1}{3}(6)^{3}-4(6)^{2}+12(6)) \\ \vspace{1pc} L=10\frac{2}{3}-0=10\frac{2}{3}\,satuan\,luas




Batas a dan b Diketahui

Nilai diskriminan, batas a dan b menjadikan beberapa macam posisi, bentuk, dan jumlah bagian kurva luas daerah.

Berikut ini gambar kurva luas daerah untuk tiga nilai diskriminan yang berbeda.

Integral luas daerah antara kurva fungsi kuadrat dan sumbu x

Untuk Nilai D < 0, kurva tidak memotong dan tidak menyinggung sumbu x.

Kemudian kurva menyinggung sumbu x di titik balik (D = 0).

Dan untuk nilai diskriminan D > 0 kurva terdiri dari satu bidang, dua bidang, dan tiga bidang.

Untuk mempermudah cara menghitung luas daerah dari beberapa macam kurva diatas, ingat empat hal berikut ini:

  1. Luas daerah di atas sumbu x dihitung dengan rumus integral: \large L=\int_{a}^{b}f(x)\,dx
  2. Luas daerah di bawah sumbu x dihitung dengan rumus integral tukar posisi a dan b : \large L=\int_{b}^{a}f(x)\,dx
  3. Jika kurva berada di atas dan di bawah sumbu x atau sebaliknya, maka tambahkan kedua luas daerah.
  4. Jika kurva berada di atas, di bawah, dan di atas sumbu x atau sebaliknya, maka tambahkan ketiga luas daerah.

Untuk poin 3 dan 4, gambar kurva akan sangat membantu dalam menentukan rumus dan mencari jawaban dari soal integral luas daerah yang diberikan.

1. Nilai Diskriminan D < 0

Terdiri dari 2 macam kurva, yaitu di atas dan di bawah sumbu x.

integral luas daerah kurva parabola diskriminan kecil nol

Rumus Integral Luas Daerah

Kurva Di Atas Sumbu x

 Kurva Di Bawah Sumbu x

\LARGE L=\int_{a}^{b}f(x)\,dx

\LARGE L=\int_{b}^{a}f(x)\,dx

Contoh soal

Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva  y=x^{2}-4x+5, batas 1 dan 4, serta sumbu x!

diskriminan kurang nol a besar dari nol

Penyelesaian:

Batas a = 1 dan batas b = 4

\vspace{1pc} L=\int_{a}^{b}f(x)\,dx \\ \vspace{1pc} L=\int_{1}^{4}x^{2}-4x+5\,dx \\ \vspace{1pc} L=[\frac{1}{3}x^{3}-2x^{2}+5x]_{1}^{4} \\ \vspace{1pc} L=(\frac{1}{3}(4)^{3}-2(4)^{2}+5(4))-(\frac{1}{3}(1)^{3}-4(1)^{2}+5(1)) \\ \vspace{1pc} L=\frac{28}{3}-\frac{10}{3}=6\,satuan\,luas

2. Nilai Diskriminan D = 0

Titik singgung kurva dengan sumbu x adalah titik balik kurva (x_{p}, y_{p})=(-\frac{b}{2a}, f(-\frac{b}{2a})).

Titik singgung kurva dengan sumbu x membagi kurva menjadi dua bagian luas daerah.

integral luas daerah diskriminan = 0

Batasnya menjadi [a, xp] dan [xp, b], sehingga rumus integral luas daerah yaitu:

Kurva Di Atas Sumbu x

 Kurva Di Bawah Sumbu x

\LARGE L=\int_{a}^{x_{p}}f(x)\,dx+\int_{x_{p}}^{b}f(x)\,dx

\LARGE L=\int_{x_{p}}^{a}f(x)\,dx+\int_{b}^{x_{p}}f(x)\,dx

Namun, hasil perhitungan luas rumus tersebut sama dengan cara perhitungan satu bagian luas daerah dengan batas a dan b.

integral luas daerah diskriminan = 0

Rumus Integral Satu Luas Daerah

Kurva Di Atas Sumbu x

 Kurva Di Bawah Sumbu x

\LARGE L=\int_{a}^{b}f(x)\,dx

\LARGE L=\int_{b}^{a}f(x)\,dx

Pergunakan rumus satu luas daerah jika titik singgung berada pada interval batas [a, b].

Namun, jika salah satu batasnya adalah titik singgung maka gunakan rumus pertama, seperti contoh berikut ini.

Contoh soal

Berapakah luas daerah berikut ini!

integral luas daerah kurva menyinggung sumbu x

Penyelesaian:

Batas a = -1

Batas b merupakan absis titik balik kurva

Koefisien a = -\frac{1}{2} dan koefisien b = 2, maka

Batas\,b =-\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(-\frac{1}{2})} = 2

\vspace{1pc} L=\int_{b}^{a}f(x)\,dx \\ \vspace{1pc} L=\int_{2}^{-1}-\frac{1}{2}x^{2}+2x-2\,dx \\ \vspace{1pc} L=[-\frac{1}{6}x^{3}+x^{2}-2x]_{2}^{-1} \\ \vspace{1pc} L=(-\frac{1}{6}(-1)^{3}+(-1)^{2}-2(-1))-(-\frac{1}{6}(2)^{3}+(2)^{2}-2(2)) \\ \vspace{1pc} L=\frac{19}{6}+\frac{8}{6}=4\frac{1}{2}\,satuan\,luas

3. Diskriminan > 0

Satu Bidang Datar

Luas daerah ini hampir sama dengan pembahasan sebelumnya yaitu luas daerah kurva dengan diskriminan > 0 dan batas-batas tidak diketahui.

Jika sebelumnya batas a dan b merupakan absis titik potong kurva dengan sumbu x.

Maka, kali ini kedua batas disebutkan dengan jelas.

integral luas daerah diskriminan 0 batas a dan b diketahui

Rumus Integral Satu Luas Daerah

Kurva Di Bawah Sumbu x

 Kurva Di Atas Sumbu x

\LARGE L=\int_{b}^{a}f(x)\,dx

\LARGE L=\int_{a}^{b}f(x)\,dx

Contoh soal 4

Suatu luas daerah dibatasi sumbu x, kurva y=2x^2+3x-5 serta dibatasi -1 dan 0. Berapakah luas daerah tersebut?

Penyelesaian:

Integral luas daerah diskriminan lebih besar dari nol

Batas a = -1 dan batas b = 0

\vspace{1pc} L=\int_{b}^{a}f(x)\,dx \\ \vspace{1pc} L=\int_{0}^{-1}2x^{2}+3x-5\,dx \\ \vspace{1pc} L=[\frac{2}{3}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-5x]_{0}^{-1} \\ \vspace{1pc} L=(\frac{2}{3}(-1)^{3}+\frac{3}{2}(-1)^{2}-5(-1))-(\frac{2}{3}(0)^{3}+\frac{3}{2}(0)^{2}-5(0)) \\ \vspace{1pc} L=5\frac{5}{6}\,satuan\,luas

Dua Bidang Datar

Kurva terdiri dari 2 bidang datar yaitu di atas-di bawah sumbu x dan di bawah-di atas sumbu x.

Karena berbeda posisi maka rentang batas dipecah menjadi [a, p] dan [p, b].

Dengan batas p adalah salah satu absis dari dua titik potong kurva dengan sumbu x.

Jadi batas p bisa saja menggunakan x1 atau x2.

  1. Kurva diatas dan dibawah sumbu x

dua bagian luas daerah 1

Rumus Integral Luas Daerah

\LARGE L=\int_{a}^{p}f(x)\,dx+\int_{b}^{p}f(x)\,dx

2. Kurva di bawah dan di atas sumbu x

dua bagian luas daerah 2

Rumus Integral Luas Daerah

\LARGE L=\int_{p}^{a}f(x)\,dx+\int_{p}^{b}f(x)\,dx

Contoh Soal

Hitunglah luas daerah berikut ini!

contoh soal dua bagian luas daerah

Penyelesaian:

Batas a = -3 dan batas b = -1

Titik potong sumbu x, maka y = 0

\vspace{1pc} y=0 \\ \vspace{1pc} 3x^{2}+7x+2=0 \\ \vspace{1pc} (3x+1)\,(x+2)=0 \\ \vspace{1pc} 3x+1=0 \mapsto x=-\frac{1}{3} \\ \vspace{1pc} x+2=0 \mapsto x=-2

Titik potong (-2, 0) dan (\frac{1}{3}, 0), maka batas p = x1 = -2

Luas Kurva Di Atas Sumbu x

\vspace{1pc} L=\int_{a}^{p}f(x)\,dx \\ \vspace{1pc} L =\int_{-3}^{-2}3x^{2}+7x+2\,dx \\ \vspace{1pc} L=[x^{3}+\frac{7}{2}x^2+2x]_{-3}^{-2} \\ \vspace{1pc} L=[(-2)^{3}+\frac{7}{2}(-2)^2+2(-2)]-[(-3)^{3}+\frac{7}{2}(-3)^2+2(-3)] \\ L=2-(-\frac{3}{2}) =3\frac{1}{2}\,satuan\,luas

Luas Kurva Di Bawah Sumbu x

\vspace{1pc} L=\int_{b}^{p}f(x)\,dx \\ \vspace{1pc} L =\int_{-1}^{-2}3x^{2}+7x+2\,dx \\ \vspace{1pc} L=[x^{3}+\frac{7}{2}x^2+2x]_{-1}^{-2} \\ \vspace{1pc} L=[(-2)^{3}+\frac{7}{2}(-2)^2+2(-2)]-[(-3)^{3}+\frac{7}{2}(-3)^2+2(-2)] \\ L=2-\frac{1}{2} =1\frac{1}{2}\,satuan\,luas

Luas Daerah = Luas Kurva Di Atas Sumbu x + Luas Kurva Di Bawah Sumbu x

Luas Daerah = 3\frac{1}{2}+1\frac{1}{2}=5\,satuan\,luas

Tiga Bidang Datar

Tiga bidang datar terdiri dari 2 macam kurva yaitu di atas-di bawah-di atas sumbu x dan di bawah-di atas-di bawah sumbu x.

Rentang batasnya dibagi menjadi [a, x1], [x1, x2] dan [x2, b].

tiga bagian luas daerah 1

Koefisien a > 0

Luas daerah = luas 1 + luas 2 + luas 3

Luas daerah = luas di atas + luas di bawah + luas di atas sumbu x

Luas 1

Luas 2

Luas 3

L=\int_{a}^{x_{1}}f(x)\,dx

L=\int_{x_{2}}^{x_{1}}f(x)\,dx

L=\int_{x_{2}}^{b}f(x)\,dx

Koefisien a < 0

Luas daerah = luas 1 + luas 2 + luas 3

Luas daerah = luas di bawah + luas di atas + luas di bawah sumbu x

Luas 1

Luas 2

Luas 3

L=\int_{x_{1}}^{a}f(x)\,dx

L=\int_{x_{1}}^{x_{2}}f(x)\,dx

L=\int_{b}^{x_{2}}f(x)\,dx

Contoh soal

Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva y=-2x^2-8x-6, sumbu x dan rentang batas [-4, 0]!

Penyelesaian:

Titik potong sumbu x, maka y = 0

\vspace{1pc} y=0 \\ \vspace{1pc} -2x^{2}-8x-6=0 \\ \vspace{1pc} (-2x-2)\,(x+3)=0 \\ \vspace{1pc} -2x-2=0 \mapsto x=-1 \\ \vspace{1pc} x+3=0 \mapsto x=-3

Maka batas x1 = -3 dan x= -1

contoh 3 bagian luas daerah

Penyelesaian:

Luas I

Batas a = -4 batas  x1 = -3

\vspace{1pc} L\,I=\int_{x_{1}}^{a}f(x)\,dx \\ \vspace{1pc} L\,I=\int_{-3}^{-4}-2x^{2}-8x-6\,dx \\ \vspace{1pc} L\,I=[-\frac{2}{3}x^{3}-4x^2-6x]_{-3}^{-4} \\ \vspace{1pc} L\,I=[-\frac{2}{3}(-4)^{3}-4(-4)^2-6(-4)]-[-\frac{2}{3}(-3)^{3}-4(-3)^2-6(-3)] \\  L\,I=\frac{8}{3}-0=2\frac{2}{3}\,satuan\,luas

Luas II

Batas x1 = -3 batas  x= -1

\vspace{1pc} L\,II=\int_{x_{1}}^{x_{2}}f(x)\,dx \\ \vspace{1pc} L\,II=\int_{-3}^{-1}-2x^{2}-8x-6\,dx \\ \vspace{1pc} L\,II=[-\frac{2}{3}x^{3}-4x^2-6x]_{-3}^{-1} \\ \vspace{1pc} L\,II=[-\frac{2}{3}(-1)^{3}-4(-1)^2-6(-1)]-[-\frac{2}{3}(-3)^{3}-4(-3)^2-6(-3)] \\ L\,II=\frac{8}{3}-0=2\frac{2}{3}\,satuan\,luas

Luas II

Batas x= -1 batas  b = 0

\vspace{1pc} L\,III=\int_{b}^{x_{2}}f(x)\,dx \\ \vspace{1pc} L\,III=\int_{0}^{-1}-2x^{2}-8x-6\,dx \\ \vspace{1pc} L\,III=[-\frac{2}{3}x^{3}-4x^2-6x]_{0}^{-1} \\ \vspace{1pc} L\,III=[-\frac{2}{3}(-1)^{3}-4(-1)^2-6(-1)]-[-\frac{2}{3}(0)^{3}-4(0)^2-6(0)] \\ L\,III=\frac{8}{3}-0=2\frac{2}{3}\,satuan\,luas

Luas Daerah = L\,I +L\,II + L\,III = 2\frac{2}{3}+2\frac{2}{3}+2\frac{2}{3}=8\,satuan\,luas

Gabungan dari dua integral luas daerah antara kurva dengan sumbu x menghasilkan integral luas daerah antara dua kurva.

Jadi, sebelum lanjut pahami dengan benar pembahasan tentang…

Integral Luas Daerah: Fungsi Konstan > Linear > Kuadrat

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *