Integral Luas Daerah Antara Kurva Fungsi Linear dan Sumbu x

Setelah membahas fungsi konstan: integral luas daerah yang dibatasi kurva dan sumbu x.

Selanjutnya pembahasan tentang cara menghitung luas daerah kurva fungsi linear dengan sumbu x menggunakan integral tentu.

Pembahasan dan contoh soal berkaitan dengan:

  1. Kurva di atas sumbu x
  2. Kurva di bawah sumbu x
  3. Kurva di atas dan di bawah sumbu x
    • Gradien Positif
    • Gradien Negatif

Fungsi Linear

Sebenarnya bentuk umum yang sering digunakan yaitu y = f (x) = ax + b

Namun, bentuk tersebut akan membingungkan dan mungkin tertukar dengan batas a dan b.

Maka, bentuk umum yang digunakan kali ini yaitu y = f (x) = mx + c

Misalnya y = x – 2 dan  y = -x – 5

grafik 2 fungsi linear

Luas Daerah Kurva Diatas Sumbu x

Kurva diatas sumbu x dengan kemiringan garis positif dan negatif serta berbentuk bidang datar segitiga dan atau trapesium.

integral luas daerah kurva fungsi linear diatas sumbu x

Walaupun berbeda bentuk dan gradien namun rumus luas daerah kurva fungsi linear diatas sumbu x yang digunakan sama yaitu:

\large L=\int_{a}^{b} f(x)\,dx=\int_{a}^{b}mx + c\,dx=[\frac{m}{2}x^2+cx]_{a}^{b}

Contoh soal 1

Contoh soal yang dicari luasnya berbentuk segitiga dengan gradien positif.

Gambarkan dan hitung luas daerah yang dibatasi sumbu x, kurva y = x – 1, serta batas 1 dan 3!

Penyelesaian:

Contoh 1 integral luas daerah kurva linear dan sumbu x

Batas a = 1 (absis titik potong kurva dengan sumbu x)

Batas b = 3

\vspace{1pc} L=\int_{a}^{b} f(x)\,dx \\ \vspace{1pc} L=\int_{1}^{3}x -1\,dx \\ \vspace{1pc} L=[\frac{1}{2}x^2-x]_{1}^{3} \\ \vspace{1pc} L=(\frac{1}{2}3^2-3)-(\frac{1}{2}1^2-1) \\ \vspace{1pc} L= \frac{3}{2}+\frac{1}{2}=2\:satuan\,luas

Luas Daerah Kurva Dibawah Sumbu x

Bentuk kurvanya hampir sama dengan bentuk kurva di atas sumbu x. Perbedaannya terletak pada posisi dan rumus integral yang digunakan.

integral luas daerah kurva fungsi linear dibawah sumbu x

Rumus mencari luas daerah fungsi linear dibawah sumbu x:

L=\int_{b}^{a} f(x)\,dx=\int_{b}^{a}mx + c\,dx=[\frac{m}{2}x^2+cx]_{b}^{a}

Contoh soal 2

Daerah yang dicontohkan berbentuk trapesium dengan kemiringan negatif.

Hitunglah luas daerah yang diarsir!

Contoh 2 integral luas daerah kurva linear dan sumbu x

Penyelesaian:

Batas a = -6   b = -3

\vspace{1pc} L=\int_{b}^{a} f(x)\,dx \\ \vspace{1pc} L=\int_{-3}^{-6}-\frac{2}{3}x -6\,dx \\ \vspace{1pc} L=[-\frac{1}{3}x^2-6x]_{-3}^{-6} \\ \vspace{1pc} L=(-\frac{1}{3}(-6)^2-6(-6))- (-\frac{1}{3}(-3)^2-6(-3) \\ \vspace{1pc} L=24-15=9\:satuan\,luas





Luas Daerah Kurva Diatas dan Dibawah Sumbu x

Hal ini terjadi jika dalam rentang batas a dan b terdapat titik potong kurva dengan sumbu x.

Terdapat dua kemungkinan cara menghitung luas daerah kurva fungsi linear diatas dan dibawah sumbu x.

Kemungkinan 1: Gradien Negatif

luas daerah diatas dan dibawah sumbu x

Cara menghitung luas daerah tersebut dibagi menjadi dua, yaitu:

luas 2 kurva linear

p = absis titik potong kurva dengan sumbu x

(Note: titik (x,y) dengan x = absis dan y = ordinat)

Luas 1 = luas diatas sumbu x dengan batas a dan p.

Luas 2 = luas dibawah sumbu x dibatasi p dan b.

Maka luas daerah = luas 1 + luas 2

\vspace{1pc} L=\int_{a}^{p} f(x)\,dx+\int_{b}^{p}f(x)\,dx \\ \vspace{1pc} L= \int_{a}^{p}(mx + c\,)dx+\int_{b}^{p}(mx + c)\,dx \\ \vspace{1pc} L=[\frac{m}{2}x^2+cx]_{a}^{p}+[\frac{m}{2}x^2+cx]_{b}^{p}

Contoh soal 3

Hitung luas daerah yang dibatasi -3 dan 2, sumbux, serta kurva y=-2x!

Penyelesaian:

integral fungsi linear gradien negatif

Titik potong kurva dengan sumbu x, y =0

\\ \vspace{1pc} y=-2x \\ \vspace{1pc} 0=-2x \\ \vspace{1pc} x =0

Titik potong = (0, 0) maka p = 0

integral fungsi linear atas dan bawah

Luas 1 = luas diatas sumbu x dengan batas a = -3 dan p = 0

Luas 2 = luas dibawah sumbu x dengan batas p = 0 dan b = 2

\vspace{1pc} L=luas\,1 + luas\,2 \\ \vspace{1pc} L=\int_{a}^{p}f(x)\,dx+\int_{b}^{p}f(x)\,dx \\ \vspace{1pc} L=\int_{-3}^{0}-2x\,dx+\int_{2}^{0}-2x\,dx \\ \vspace{1pc} L=[-2x^{2}]_{-3}^{0}+[-x^{2}]_{2}^{0} \\ \vspace{1pc} L=[-(0)^{2}-(-(-3)^{2}))]+ [-(0)^{2}-(-(2)^{2}))] \\ \vspace{1pc} L=9+4=13\,satuan\,luas

Kemungkinan 2: Gradien Positif

Kebalikan dengan kemungkinan 1.

Dalam kemungkinan 2, posisi luas daerah 1 berada dibawah sumbu x dan luas daerah 2 berada diatas sumbu x

Contoh soal 4

Hitung luas daerah yang dibatasi sumbux, kurva y=\frac{1}{4}x+1 dan batas -8 dan 1!

Penyelesaian:

 

luas daerah dibawah dan diatas sumbu x

Titik potong kurva dengan sumbu x, y =0

\\ \vspace{1pc} y=\frac{1}{4}x+1 \\ \vspace{1pc} 0=\frac{1}{4}x+1 \\ \vspace{1pc} - \frac{1}{4}x =1 \\ \vspace{1pc} x=-4

Titik potong = (-4, 0) maka p = -4

luas daerah dibawah + diatas sumbu x

Luas 1 = luas dibawah sumbu x dengan batas a = -8 dan p = -4

Luas 2 = luas diatas sumbu x dengan batas p = -4 dan b = 1

\vspace{1pc} L=luas\,1 + luas\,2 \\ \vspace{1pc} L=\int_{p}^{a}f(x)\,dx+\int_{p}^{b}f(x)\,dx \\ \vspace{1pc} L=\int_{-4}^{-8}\frac{1}{4}x+1\,dx+\int_{-4}^{1}\frac{1}{4}x+1\,dx \\ \vspace{1pc} L=[\frac{1}{8}x^{2}+x]_{-4}^{-8}+[\frac{1}{8}x^{2}+x]_{-4}^{1} \\ \vspace{1pc} L=[(\frac{1}{8}(-8)^{2}+(-8))-(\frac{1}{8}(-4)^{2}+(-4))]+ [(\frac{1}{8}(1)^{2}+1)-(\frac{1}{8}(-4)^{2}+(-4))] \\ \vspace{1pc} L=(0-(-2))+(\frac{9}{8}-(-2))=5\frac{1}{8}\,satuan\,luas

Bagaimana menghitung luas daerah dengan integral jika hanya dibatasi kurva dan sumbu x tanpa diketahui batas bawah dan batas atas?

Bisakah kita menentukan luas daerahnya?

Temukan jawabannya dalam pembahasan selanjutnya.

Integral Luas Daerah: Fungsi Konstan > Linear > Kuadrat

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *