Integral Luas Daerah Antara Kurva dan Sumbu x

Sangat penting untuk memahami materi integral luas daerah yang dibatasi kurva dan sumbu x.

Karena materi integral ini merupakan dasar dari integral luas daerah antara dua kurva…

volume benda putar, volume integral lipat dua, dan yang paling rumit volume integral lipat tiga.

Posisi Daerah

Pembahasan integral luas daerah meliputi kurva fungsi konstan, linear, dan kuadrat.

kon lin ku

Dengan a sebagai batas bawah dan b sebagai batas atas.

Serta p merupakan absis titik potong kurva dengan sumbu x.

Batas a dan b menentukan posisi daerah yang dicari luasnya, yaitu:

  • Diatas sumbu x

\large L=\int_{a}^{b} f(x)\:dx

  • Dibawah sumbu x

\large L=-\int_{a}^{b} f(x)\:dx=\int_{b}^{a} f(x)\:dx

  • Diatas dan dibawah sumbu x

\large L=\int_{a}^{b} f(x)\:dx=\int_{a}^{p} f(x)\:dx+ \int_{b}^{p} f(x)\:dx

atau

\large L=\int_{a}^{b} f(x)\:dx=\int_{p}^{a} f(x)\:dx+ \int_{p}^{a} f(x)\:dx

Kenapa rumus integral luas daerah dibawah sumbu x diberi tanda negatif?

Atau kenapa batas a dan b integral luas daerah dibawah sumbu x ditukar posisinya?

Jawabannya karena luas adalah bilangan positif dan bukan bilangan negatif.

Tidak paham?

Coba hitung luas daerah dibawah sumbu x menggunakan rumus integral luas diatas sumbu x.

Hasilnya pasti negatif.

Maka dari itu, untuk membuat hasil perhitungan luas menjadi positif.

Ditambahkan tanda negatif diawal rumus, atau batas a dan b ditukar posisinya.

Belum paham juga?

Perhatikan contoh 4 dan 5 dalam penjelasan dibawah ini.

Fungsi Konstan

Bentuk umum: y = f (x) = k

Kurva fungsi konstan sejajar dengan sumbu x, baik itu diatas ataupun dibawah sumbu x.

Contohnya f (x) = 3 dan f (x) = -2

kon o

Luas Daerah Kurva Diatas Sumbu x

Daerah yang dibatasi kurva fungsi konstan, batas a dan b, serta sumbu x berbentuk bidang datar persegi panjang.

Berdasarkan batas a dan b, luas daerah diatas sumbu x mempunyai tiga kemungkinan posisi, yaitu:

kon 0 atas

Dari gambar kurva terlihat

  1. Posisi 1 batas a dan b berada di kuadran I.
  2. Posisi 2 batas a terletak di kuadran II dan batas b berada di kuadran I.
  3. Posisi 3 batas a dan b terletak dikuadran I.

Rumus menghitung luas daerah diatas sumbu x dapat dengan integral:

L=\int_{a}^{b} f(x)\,dx=\int_{a}^{b} k\,dx =[kx]_{a}^{b}

Contoh soal 1

Suatu daerah dibatasi kurva y = 6, batas a = 1 dan batas b = 2, serta sumbu x.

Gambarkan dan hitung luas daerah tersebut!

Penyelesaian:

kon con 1

Batas a = 1 dan b = 2

\vspace{1pc} L=\int_{a}^{b} k\,dx \\ \vspace{1pc} L=\int_{1}^{2} 6\,dx \\ \vspace{1pc} L=[6x]_{1}^{2} \\ \vspace{1pc} L=6(2-1)=6\,satuan\,luas

Contoh 2

Berapakah luas daerah yang diarsir?

kon con 2

Penyelesaian:

Batas a = -2   b = 4

\vspace{1pc} L=\int_{a}^{b} k\,dx \\ \vspace{1pc} L=\int_{-2}^{4} 3\,dx \\ \vspace{1pc} L=[3x]_{-2}^{4} \\ \vspace{1pc} L=3(4-(-2))=18\:satuan\,luas

Contoh soal 3

Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva y = 4, x = -6, x = -2, dan sumbu x!

Penyelesaian:

kon con 3

Batas a = -6   b = -2

\vspace{1pc} L=\int_{a}^{b} k\,dx \\ \vspace{1pc} L=\int_{-6}^{-2} 4\,dx \\ \vspace{1pc} L=[4x]_{-6}^{-2} \\ \vspace{1pc} L=4(-2-(-6))=16\:satuan\,luas

Luas Daerah Kurva Dibawah Sumbu x

Luas daerah dibawah sumbu x juga memiliki tiga kemungkinan posisi, yaitu:

kon 0 bawah

Seperti yang terlihat

  1. Posisi 1 berada di kuadran III.
  2. Posisi 2 terletak diantara kuadran III dan IV.
  3. Posisi 3 terletak dikuadran IV.

Terdapat dua rumus menentukan luas daerah dibawah sumbu x, yaitu:

Rumus Negatif

L=-\int_{a}^{b} f(x)\,dx=-\int_{a}^{b} k\,dx =-[kx]_{a}^{b}

Tukar Posisi a dan b

L=\int_{b}^{a} f(x)\,dx=\int_{b}^{a} k\,dx =[kx]_{b}^{a}

Satu atau dua contoh tidak dapat membuktikan kebenaran dari suatu rumus.

Tapi, contoh yang saya jelaskan setidaknya membantu memahami….

mengapa rumus integral luas daerah dibawah sumbu x diawali tanda negatif atau batas a dan b ditukar posisinya?

Contoh soal 4

Suatu daerah dibatasi kurva y = -6, batas 1 dan 2, serta sumbu x.

Gambarkan dan hitung luas daerah tersebut!

kon 4

Penyelesaian:

Batas a = 1   b = 2

Cara yang salah

\vspace{1pc} \large L=\int_{a}^{b} k\,dx \\ \vspace{1pc} L=\int_{1}^{2} -6\,dx \\ \vspace{1pc} L=[-6x]_{1}^{2} \\ \vspace{1pc} L=[-6(2-1)]=-6\,satuan\,luas

(luas tidak boleh negatif)

Cara yang benar: Rumus Negatif

\vspace{1pc} \large L=-\int_{a}^{b} k\,dx \\ \vspace{1pc} L=-\int_{1}^{2} -6\,dx \\ \vspace{1pc} L=-[-6x]_{1}^{2} \\ \vspace{1pc} L=-[-6(2-1)]=6\,satuan\,luas

cara berikutnya.

Cara yang salah

\vspace{1pc} \large L=\int_{a}^{b} k\,dx \\ \vspace{1pc} L=\int_{1}^{2} -6\,dx \\ \vspace{1pc} L=[-6x]_{1}^{2} \\ \vspace{1pc} L=-6(2-1)=-6\,satuan\,luas

(luas tidak boleh negatif)

Cara yang benar: Tukar Posisi a dan b

\vspace{1pc} \large L=\int_{b}^{a} k\,dx \\ \vspace{1pc} L=\int_{2}^{1} -6\,dx \\ \vspace{1pc} L=[-6x]_{2}^{1} \\ \vspace{1pc} L=-6(1-2)=6\,satuan\,luas

Contoh soal 5

Berapakah luas daerah yang diarsir?

kon 5

Batas a = -2   b = 4

Cara 1: Rumus Negatif

\vspace{1pc} L=-\int_{a}^{b} k\,dx \\ \vspace{1pc} L=-\int_{-2}^{4} -3\,dx \\ \vspace{1pc} L=-[-3x]_{-2}^{4} \\ \vspace{1pc} L=-[-3(4-(-2))]=18\,satuan\,luas

Cara 2: Tukar Posisi a dan b

\vspace{1pc} L=\int_{b}^{a} k\,dx \\ \vspace{1pc} L=\int_{4}^{-2} -3\,dx \\ \vspace{1pc} L=[-3x]_{4}^{-2}\\ \vspace{1pc} L=-3(-2-4)=18\,satuan\,luas

Sebelum lanjut ada satu pertanyaan penting.

Rumus manakah yang sebaiknya digunakan untuk mencari luas daerah dibawah sumbu x dengan integral?

Menurut saya, rumus dengan tukar posisi a dan b lebih mudah terutama pada saat pembahasan integral luas daerah antara dua kurva.

Oleh karena itu, dalam pembahasan selanjutnya hanya rumus tersebut yang digunakan.

Integral Luas Daerah: Fungsi Konstan > Linear > Kuadrat

Tinggalkan Balasan