SPL Homogen 3 Persamaan dan 3 Variabel

Dalam pembahasan sebelumnya, SPL Homogen 3 Persamaan dan 2 Variabel hanya mempunyai solusi trivial.

Sedangkan SPL Homogen 3 Persamaan dan 3 Variabel mempunyai kedua jenis solusi yaitu trivial dan nontrivial.

Penyelesaian SPL Homogen 3×3 ini tidak hanya melibatkan determinan matriks, tetapi juga akan saya paparkan tentang baris pertama, baris ketiga, dan variabel acuan.

Bentuk Umum

\vspace{1pc} \large a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + a_{13}x_{3} = 0 \\ \vspace{1pc}  a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + a_{23}x_{3} = 0 \\ a_{31}x_{1} + a_{32}x_{2} + a_{33}x_{3} = 0

Dalam proses perhitungan dengan OBE, koefisien a11-a33 diganti dengan abjad a-i.

Sehingga menjadi matriks augmentasi:

\large \left [\left.\begin{matrix} a &b &c \\ d &e &f \\ g &h &i \end{matrix}\right|\begin{matrix} 0 \\0 \\0 \end{matrix}\right]

Karena solusi dapat diketahui dari nilai determinan.

Maka, penyelesaian SPL Homogen ini menggunakan bantuan determinan matriks 3×3 metode OBE.

Solusi Trivial

Solusi SPL Homogen ini berlaku jika determinan matriks ≠ 0.

Maka, cara penyelesaian diawali dari cara menghitung determinan, yaitu:

hom-3

Cara yang dijelaskan untuk contoh soal solusi trivial hanya menggunakan determinan matriks segitiga atas.

Contoh soal: Tentukan solusi dari SPL Homogen berikut!

SPL Homogen A

SPL Homogen B

\vspace{1pc} \large 4x_{1} + 3x_{2} + 5x_{3} = 0 \\ \vspace{1pc}  2x_{1} - x_{2} + 4x_{3} = 0 \\ 3x_{1} - 4x_{2} + 2x_{3} = 0

\vspace{1pc} \large 2x_{1} + 3x_{2} - x_{3} = 0 \\ \vspace{1pc}  4x_{1} + 3x_{2} + 5x_{3} = 0 \\ x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} = 0

Penyelesaian:

  1. Ubah SPL Homogen diatas menjadi matriks augmentasi.

    \large A = \left [\left.\begin{matrix} 4 &3 &5 \\ 2 &-1 &4 \\ 3 &-4 &2 \end{matrix}\right|\begin{matrix} 0 \\0 \\0 \end{matrix}\right]

    \large A = \left [\left.\begin{matrix} 2 &3 &-1 \\ 4 &3 &5 \\ 1 &2 &3 \end{matrix}\right|\begin{matrix} 0 \\0 \\0 \end{matrix}\right]

  2. Ubah elemen d dan g menjadi nol menggunakan kunci elemen a.tri-2
  3. Ubah elemen h menjadi nol menggunakan kunci elemen e.

tri-3

Karena det A dan det B ≠ 0, maka solusi SPL Homogen A dan B adalah trivial (x1 = x2 = x3 =0).
Sebenarnya langkah penyelesaian kedua SPL Homogen ini bisa saja cukup sampai disini.

Namun, langkah penyelesaian akan dilanjutkan hingga terbentuk matriks eselon baris tereduksi.

4. Ubah elemen i menjadi satu dengan cara:tri-4

5. Ubah elemen c dan f menjadi nol menggunakan kunci elemen i.tri-56. Ubah elemen b menjadi nol menggunakan kunci elemen e.tri-67. Ubah elemen a dan e menjadi satu dengan cara:tri-7

8. Himpunan Penyelesaian (HP)tri-8




Solusi Non Trivial

Terdapat dua cara yang bisa digunakan untuk mengetahui solusi non trivial dari suatu SPL Homogen, yaitu:

  1. Baris pertama = 0, x1 dan  x2 = variabel acuan.
  2. Baris ketiga = 0, x2 dan  x= variabel acuan.

Variabel acuan?

Sebenarnya dalam materi SPL Homogen tidak ada yang namanya “Variabel Acuan”.

Istilah ini sengaja saya perkenalkan untuk memudahkan penyelesaian SPL Homogen.

Variabel acuan dalam proses pengerjaannya nanti akan berubah menjadi parameter.

Jadi, untuk membedakannya digunakanlah dua istilah tersebut.

Baris Pertama

Cara ini terdiri dari dua bagian penyelesaian:

  1. Menghitung determinan
  2. Variabel acuan:
  • Variabel x1 sebagai acuan.
  • Variabel xsebagai acuan.

Dari contoh soal solusi non trivial matriks segitiga atas.

Tentukan nilai variabel dari SPL Homogen berikut!

SPL Homogen C SPL Homogen D
\vspace{1pc} \large 2x_{1} + 6x_{2} + 4x_{3} = 0 \\ \vspace{1pc} 3x_{1} + 4x_{2} - x_{3} = 0 \\ -1x_{1} + 2x_{2} + 5x_{3} = 0 \vspace{1pc} \large 5x_{1} - 2x_{2} + 3x_{3} = 0 \\ \vspace{1pc} 2x_{1} + 7x_{2} - 3x_{3} = 0 \\ -x_{1} + 3x_{2} - 2x_{3} = 0

Variabel Acuan = x1

Variabel xsebagai acuan, maka variabel xdan x3 diubah menjadi angka satu.

xt-3

Langkah 1-3 menghitung nilai determinan.

Langkah 4-8 mencari solusi dengan variabel acuan = x1.

  1. Ubah SPL Homogen diatas menjadi matriks.
    \large C = \left [\left.\begin{matrix} 2 &6 &4 \\ 3 &4 &-1 \\ -1 &2 &5 \end{matrix}\right|\begin{matrix} 0 \\0 \\0 \end{matrix}\right] \large D = \left [\left.\begin{matrix} 5 &-2 &3 \\ 2 &7 &-3 \\ -1 &3 &-2 \end{matrix}\right|\begin{matrix} 0 \\0 \\0 \end{matrix}\right]
  2. Ubah elemen dan f menjadi nol menggunakan kunci elemen i.baw-2
  3. Ubah elemen b menjadi nol menggunakan kunci elemen e.baw-3

Det\; C = (0)(\frac{22}{5})(5) = 0

Det\;D = (0)(\frac{5}{2})(-2) = 0

4. Ubah elemen h menjadi nol menggunakan kunci elemen e.baw-4

5. Ubah elemen e dan i menjadi angka satu dengan cara:baw-5

6. Menentukan nilai xdan x3.baw-6

7. Parameter: misalkan x1 = t, maka

baw-7

8. Himpunan Penyelesaian

ats-13

Variabel Acuan = x2

Variabel x2 sebagai acuan, maka variabel xdan x3 diubah menjadi angka satu.

xt-4

 

Langkah 1-3 menghitung nilai determinan (lihat variabel acuan x1) .

Langkah 4-8 mencari solusi dengan variabel acuan x2.

4. Ubah elemen g menjadi nol menggunakan kunci elemen a.baw-8

5. Ubah elemen d dan i menjadi angka satu dengan cara:baw-9

6. Menentukan nilai x1 dan x3.baw-10

7. Parameter: misalkan x2 = t, makabaw-11

8. Himpunan Penyelesaian

ats-13

Baris Ketiga

Cara ini terdiri dari dua bagian penyelesaian:

  1. Menghitung determinan
  2. Variabel acuan:
  • Variabel xsebagai acuan.
  • Variabel xsebagai acuan.

Contoh soal: Tentukan solusi dari SPL Homogen berikut!

SPL Homogen C

SPL Homogen D

\vspace{1pc} \large 2x_{1} + 6x_{2} + 4x_{3} = 0 \\ \vspace{1pc} 3x_{1} + 4x_{2} - x_{3} = 0 \\ -1x_{1} + 2x_{2} + 5x_{3} = 0

\vspace{1pc} \large 5x_{1} - 2x_{2} + 3x_{3} = 0 \\ \vspace{1pc} 2x_{1} + 7x_{2} - 3x_{3} = 0 \\ -x_{1} + 3x_{2} - 2x_{3} = 0

Variabel Acuan = x2

Pembahasan xsebagai variabel acuan sudah dijelaskan pada contoh SPL Homogen cara matriks segitiga atas.

Tapi, sebagai contoh tambahan akan saya jelaskan lagi dengan cara baris ketiga.

Variabel x2 sebagai acuan, maka variabel xdan x3 diubah menjadi angka satu.

xt-1

Langkah 1-3 menghitung nilai determinan.

Langkah 4-8 mencari solusi dengan variabel acuan = x2.

  1. Ubah SPL Homogen diatas menjadi matriks.

    \large C = \left [\left.\begin{matrix} 2 &6 &4 \\ 3 &4 &-1 \\ -1 &2 &5 \end{matrix}\right|\begin{matrix} 0 \\0 \\0 \end{matrix}\right]

    \large D = \left [\left.\begin{matrix} 5 &-2 &3 \\ 2 &7 &-3 \\ -1 &3 &-2 \end{matrix}\right|\begin{matrix} 0 \\0 \\0 \end{matrix}\right]

  2. Ubah elemen d dan g menjadi nol menggunakan kunci elemen a.ats-2
  3. Ubah elemen h menjadi nol menggunakan kunci elemen e.ats-3

Det\;C =(2)(-5)(0) = 0

Det\;D =(5)(\frac{39}{5})(0) = 0

4. Ubah elemen c menjadi nol menggunakan elemen f.

ats-4

5. Ubah elemen a  dan f menjadi angka satu dengan cara:ats-5

6. Menentukan nilai x1 dan x3.

ats-6

7. Parameter: misalkan x2 = t, maka

ats-7

Karena kebetulan penyebut kedua solusi adalah 7 maka nilai variabel dikali dengan 7.

8. Himpunan Penyelesaianats-13

Variabel Acuan = x3

Variabel x3 sebagai acuan, maka variabel x1 dan x2 diubah menjadi angka satu.

xt-2

Langkah 1-3 menghitung nilai determinan (lihat variabel acuan =x2).

Langkah 4-8 mencari solusi dengan variabel acuan = x3.

4. Ubah elemen b menjadi nol menggunakan kunci elemen e.ats-9

5. Ubah elemen a  dan menjadi angka satu dengan cara:ats-10

6. Menentukan nilai xdan x2.ats-11

7. Parameter: misalkan x3 = t, makaats-12

8. Himpunan Penyelesaianats-13

Pembahasan berikutnya tentang SPL Homogen yang terdiri dari 2 persamaan dan 3 variabel (2×3).

Bagaimana cara penyelesaian dan solusi SPL tersebut? silahkan kunjungi ke halaman selanjutnya.

SPL Homogen: 3×2 > 3×3 > 2×3

 

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *