SPL Homogen 3 Persamaan dan 3 Variabel

Pembahasan sebelumnya SPL Homogen 3 Persamaan dan 2 Variabel hanya mempunyai solusi trivial.

Sedangkan SPL Homogen 3 Persamaan dan 3 Variabel mempunyai kedua jenis solusi yaitu trivial dan nontrivial.

Kedua solusi dapat diketahui lebih awal dari nilai determinan matriks.

Bentuk Umum

\large a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + a_{13}x_{3} = 0 \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + a_{23}x_{3} = 0 \\ a_{31}x_{1} + a_{32}x_{2} + a_{33}x_{3} = 0

Dalam proses perhitungan dengan OBE, koefisien a11-a33 diganti dengan abjad a-i.

Sehingga menjadi matriks augmentasi:

\large \left [\left.\begin{matrix} a &b &c \\ d &e &f \\ g &h &i \end{matrix}\right|\begin{matrix} 0 \\0 \\0 \end{matrix}\right]

Karena solusi dapat diketahui dari nilai determinan.

Maka, penyelesaian SPL Homogen ini menggunakan bantuan determinan matriks 3×3 metode OBE.

Solusi Trivial

Solusi SPL Homogen ini berlaku jika determinan matriks ≠ 0.

Maka, cara penyelesaian diawali dari cara menghitung determinan, yaitu:

hom-3

Cara yang dijelaskan untuk contoh soal solusi trivial hanya menggunakan determinan matriks segitiga atas.

Contoh soal: Tentukan solusi dari SPL Homogen berikut!

SPL Homogen A

SPL Homogen B

\large 4x_{1} + 3x_{2} + 5x_{3} = 0 \\ 2x_{1} - x_{2} + 4x_{3} = 0 \\ 3x_{1} - 4x_{2} + 2x_{3} = 0

\large 2x_{1} + 3x_{2} - x_{3} = 0 \\ 4x_{1} + 3x_{2} + 5x_{3} = 0 \\ x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} = 0

Penyelesaian:

  1. Ubah SPL Homogen diatas menjadi matriks augmentasi.

    \large A = \left [\left.\begin{matrix} 4 &3 &5 \\ 2 &-1 &4 \\ 3 &-4 &2 \end{matrix}\right|\begin{matrix} 0 \\0 \\0 \end{matrix}\right]

    \large A = \left [\left.\begin{matrix} 2 &3 &-1 \\ 4 &3 &5 \\ 1 &2 &3 \end{matrix}\right|\begin{matrix} 0 \\0 \\0 \end{matrix}\right]

  2. Ubah elemen d dan g menjadi nol menggunakan kunci elemen a.tri-2
  3. Ubah elemen h menjadi nol menggunakan kunci elemen e.

tri-3

Karena det A dan det B ≠ 0, maka solusi SPL Homogen A dan B adalah trivial (x_1=x_2=x_3=0).

Sebenarnya langkah penyelesaian kedua SPL Homogen ini bisa saja cukup sampai disini.

Namun, langkah penyelesaian akan dilanjutkan hingga terbentuk matriks eselon baris tereduksi.

4. Ubah elemen i menjadi satu dengan cara:tri-4

5. Ubah elemen c dan f menjadi nol menggunakan kunci elemen i.tri-56. Ubah elemen b menjadi nol menggunakan kunci elemen e.tri-67. Ubah elemen a dan e menjadi satu dengan cara:tri-7

8. Himpunan Penyelesaian (HP)tri-8

Solusi Non Trivial

Seperti solusi trivial, untuk solusi non trivial juga menggunakan matriks segitiga atas dan bawah serta variabel acuan.

Variabel acuan?

Sebenarnya dalam materi SPL Homogen tidak ada yang namanya “Variabel Acuan”.

Istilah ini sengaja saya perkenalkan untuk memudahkan penyelesaian SPL Homogen.

Variabel acuan dalam proses pengerjaannya nanti akan berubah menjadi parameter.

Jadi, untuk membedakannya digunakanlah dua istilah tersebut.

Matriks Segitiga Atas

Cara ini terdiri dari dua bagian penyelesaian:

  1. Menghitung determinan
  2. Variabel acuan:
  • Variabel x_2 sebagai acuan.
  • Variabel x_3 sebagai acuan.

Contoh soal: Tentukan solusi dari SPL Homogen berikut!

SPL Homogen C

SPL Homogen D

\large 2x_{1} + 6x_{2} + 4x_{3} = 0 \\ 3x_{1} + 4x_{2} - x_{3} = 0 \\ -1x_{1} + 2x_{2} + 5x_{3} = 0

\large 5x_{1} - 2x_{2} + 3x_{3} = 0 \\ 2x_{1} + 7x_{2} - 3x_{3} = 0 \\ -x_{1} + 3x_{2} - 2x_{3} = 0

 

Variabel Acuan = x_2

Variabel x_2 sebagai acuan, maka variabel x_1 dan x_3 diubah menjadi angka satu.

xt-1

Langkah 1-3 menghitung nilai determinan.

Langkah 4-8 mencari solusi dengan variabel acuan = x_2.

  1. Ubah SPL Homogen diatas menjadi matriks.

    \large C = \left [\left.\begin{matrix} 2 &6 &4 \\ 3 &4 &-1 \\ -1 &2 &5 \end{matrix}\right|\begin{matrix} 0 \\0 \\0 \end{matrix}\right]

    \large D = \left [\left.\begin{matrix} 5 &-2 &3 \\ 2 &7 &-3 \\ -1 &3 &-2 \end{matrix}\right|\begin{matrix} 0 \\0 \\0 \end{matrix}\right]

  2. Ubah elemen d dan g menjadi nol menggunakan kunci elemen a.ats-2
  3. Ubah elemen h menjadi nol menggunakan kunci elemen e.ats-3

Det C =(2)(-5)(0) = 0

Det D =(5)(\frac{39}{5})(0) = 0

4. Ubah elemen c menjadi nol menggunakan elemen f.

ats-4

5. Ubah elemen a  dan f menjadi angka satu dengan cara:ats-5

6. Menentukan nilai x_1 dan x_3.

ats-6

7. Parameter: misalkan x_2 = t, maka

ats-7

Karena kebetulan penyebut kedua solusi adalah 7 maka nilai variabel dikali dengan 7.

8. Himpunan Penyelesaianats-13

Variabel Acuan = x_3

Variabel x_3 sebagai acuan, maka variabel x_1 dan x_2 diubah menjadi angka satu.

xt-2

Langkah 1-3 menghitung nilai determinan (lihat variabel acuan =x_2).

Langkah 4-8 mencari solusi dengan variabel acuan = x_3.

4. Ubah elemen b menjadi nol menggunakan kunci elemen e.ats-9

  1. Ubah elemen a  dan menjadi angka satu dengan cara:ats-10

  2. Menentukan nilai x_1 dan x_2.ats-11

  3. Parameter: misalkan x_3 = t, makaats-12

  4. Himpunan Penyelesaianats-13

Matriks Segitiga Bawah

Cara ini terdiri dari dua bagian penyelesaian:

  1. Menghitung determinan
  2. Variabel acuan:
  • Variabel x_1 sebagai acuan.
  • Variabel x_2 sebagai acuan.

Dari contoh soal solusi non trivial matriks segitiga atas.

Tentukan nilai variabel dari SPL Homogen berikut!

SPL Homogen C

SPL Homogen D

\large 2x_{1} + 6x_{2} + 4x_{3} = 0 \\ 3x_{1} + 4x_{2} - x_{3} = 0 \\ -1x_{1} + 2x_{2} + 5x_{3} = 0

\large 5x_{1} - 2x_{2} + 3x_{3} = 0 \\ 2x_{1} + 7x_{2} - 3x_{3} = 0 \\ -x_{1} + 3x_{2} - 2x_{3} = 0

 

Variabel Acuan = x_1

Variabel x_1 sebagai acuan, maka variabel x_2 dan x_3 diubah menjadi angka satu.

xt-3

Langkah 1-3 menghitung nilai determinan.

Langkah 4-8 mencari solusi dengan variabel acuan = x_1.

  1. Ubah SPL Homogen diatas menjadi matriks.

    \large C = \left [\left.\begin{matrix} 2 &6 &4 \\ 3 &4 &-1 \\ -1 &2 &5 \end{matrix}\right|\begin{matrix} 0 \\0 \\0 \end{matrix}\right]

    \large D = \left [\left.\begin{matrix} 5 &-2 &3 \\ 2 &7 &-3 \\ -1 &3 &-2 \end{matrix}\right|\begin{matrix} 0 \\0 \\0 \end{matrix}\right]

  2. Ubah elemen dan f menjadi nol menggunakan kunci elemen i.baw-2
  3. Ubah elemen b menjadi nol menggunakan kunci elemen e.baw-3

Det C  = (0)(\frac{22}{5})(5) = 0

Det C  = (0)(\frac{5}{2})(-2) = 0

4. Ubah elemen h menjadi nol menggunakan kunci elemen e.baw-4

5. Ubah elemen e dan i menjadi angka satu dengan cara:baw-5

6. Menentukan nilai x_2 dan x_3.baw-6

7. Parameter: misalkan x_1 = t, maka

baw-7

8. Himpunan Penyelesaian

ats-13

Variabel Acuan = x_2

Variabel x_2 sebagai acuan, maka variabel x_1 dan x_3 diubah menjadi angka satu.

xt-4

Pembahasan x_2 sebagai variabel acuan sudah dijelaskan pada contoh SPL Homogen cara matriks segitiga atas.

Tapi, sebagai contoh tambahan akan saya jelaskan lagi dengan cara matriks segitiga bawah.

Langkah 1-3 menghitung nilai determinan (lihat variabel acuan = x_1) .

Langkah 4-8 mencari solusi dengan variabel acuan = x_2.

4. Ubah elemen g menjadi nol menggunakan kunci elemen a.baw-8

5. Ubah elemen d dan i menjadi angka satu dengan cara:baw-9

6. Menentukan nilai x_1 dan x_3.baw-10

7. Parameter: misalkan x_2 = t, makabaw-11

8. Himpunan Penyelesaian

ats-13

Solusi non trivial dari SPL Homogen C dan D menggunakan matriks segitiga atas dan bawah serta variabel acuan x_1, x_2, x_3 menghasilkan himpunan penyelesaian yang sama.

SPL Homogen: 3×2 > 3×3 > 2×3

 

Tinggalkan Balasan