SPL Homogen 2 Persamaan dan 3 Variabel

Sebagai lanjutan pembahasan SPL Homogen 3 persamaan dan 3 Variabel. Kali ini akan menjelaskan tentang SPL Homogen yang mempunyai 2 persamaan dan 3 variabel.

SPL Homogen ini jika diubah menjadi matriks berodo 2×4 dengan dibatasi partisi matriks.

Cara penyelesaiannya pun masih sama dengan sebelumnya yaitu menggunakan operasi baris elementer.

Bentuk Umum

\vspace{1pc} \large a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + a_{13}x_{3} = 0 \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + a_{23}x_{3} = 0

Ubah SPL Homogen  diatas menjadi matriks augmentasi 2×3 dengan elemen a-f, yaitu:

\large \left [\left.\begin{matrix} a &b &c \\ d &e &f \end{matrix}\right|\begin{matrix} 0\\ 0 \end{matrix}\right]

Solusi SPL Homogen

Karena jumlah persamaan lebih sedikit dari jumlah variabel (m < n), maka SPL Homogen ini hanya mempunyai solusi non trivial.

Seperti SPL Homogen sebelumnya, SPL Homogen ini juga dapat diselesaikan dengan tiga cara variabel acuan.

Contoh Soal

Contoh soal: Tentukan solusi dari SPL homogen berikut!

\vspace{1pc} \Large 4x_{1} - 3x_{2} + 4x_{3} = 0 \\ -3x_{1} + 2x_{2} - x_{3} = 0

Penyelesaian menggunakan tiga variabel acuan, yaitu:

Variabel Acuan = x1

Solusi SPL Homogen

\large \left [\left.\begin{matrix} a &1 &0 \\ d &0 &1 \end{matrix}\right|\begin{matrix} 0\\ 0 \end{matrix}\right]

Nilai ketiga variabel menggunakan parameter

\vspace{1pc} \Large x_{1} = t \\ \vspace{1pc} x_{2} = -at \\ x_{3} = -dt

Penyelesaian:

  1. Ubah SPL Homogen menjadi matriks augmentasi.

    \large \left [\left.\begin{matrix} 4 &-3 &4 \\ -3 &2 &-1 \end{matrix}\right|\begin{matrix} 0\\ 0 \end{matrix}\right]

  2. Ubah elemen menjadi nol.

    \vspace{1pc} \large R_{1} + 4R_{2} \\ \left [\left.\begin{matrix} -8 &5 &0 \\ -3 &2 &-1 \end{matrix}\right|\begin{matrix} 0\\ 0 \end{matrix}\right]

  3. Ubah elemen menjadi nol.

    \vspace{1pc} \large 5R_{2} - 2R_{1} \\ \left [\left.\begin{matrix} -8 &5 &0 \\ 1 &0 &-5 \end{matrix}\right|\begin{matrix} 0\\ 0 \end{matrix}\right]

  4. Ubah elemen dan f  menjadi satu.

    \vspace{1pc} \large \frac{R_{1}}{5}\; \frac{R_{2}}{-5} \\ \left [\left.\begin{matrix} -\frac{8}{5} &1 &0 \\ -\frac{1}{5} &0 &1 \end{matrix}\right|\begin{matrix} 0\\ 0 \end{matrix}\right]

  5. Mencari nilai x1, x2, dan x3.

    \vspace{1pc} \large -\frac{8}{5}x_1 + x_2 = 0 \mapsto x_2 = \frac{8}{5}x_1 \\ -\frac{1}{5}x_1 + x_3 = 0 \mapsto x_3 = \frac{1}{5}x_1

  6. Nilai variabel  x= t  dan t = parameter

    \large \begin{bmatrix} x_1 \\x_2 \\x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ \frac{8}{5} \\\frac{1}{5} \end{bmatrix} t \times 5 = \begin{bmatrix} 5 \\8 \\1 \end{bmatrix}t

    \large x_1 = 5t\: x_2 = 8t\: x_3 = t




Variabel Acuan = x2

Solusi SPL Homogen

\large \left [\left.\begin{matrix} 1 &b &0 \\ 0 &e &1 \end{matrix}\right|\begin{matrix} 0\\ 0 \end{matrix}\right]

Nilai ketiga variabel menggunakan parameter

\vspace{1pc} \Large x_{1} = -bt \\ \vspace{1pc} x_{2} = t \\ x_{3} = -et

Penyelesaian:

  1. Ubah SPL Homogen menjadi matriks augmentasi.

    \large \left [\left.\begin{matrix} 4 &-3 &4 \\ -3 &2 &-1 \end{matrix}\right|\begin{matrix} 0\\ 0 \end{matrix}\right]

  2. Ubah elemen menjadi nol.

    \vspace{1pc} \large 4R_{2} + 3R_{1} \\ \left [\left.\begin{matrix} 4 &-3 &4 \\ 0 &-1 &8 \end{matrix}\right|\begin{matrix} 0\\ 0 \end{matrix}\right]

  3. Ubah elemen menjadi nol.

    \vspace{1pc} \large 2R_{1} - R_{2} \\ \left [\left.\begin{matrix} -8 &5 &0 \\ 0 &-1 &8 \end{matrix}\right|\begin{matrix} 0\\ 0 \end{matrix}\right]

  4. Ubah elemen dan f  menjadi satu.

    \vspace{1pc} \large \frac{R_{1}}{8}\; \frac{R_{2}}{8} \\ \left [\left.\begin{matrix} 1 &-\frac{5}{8} &0 \\ 0 &-\frac{1}{8} &1 \end{matrix}\right|\begin{matrix} 0\\ 0 \end{matrix}\right]

  5. Mencari nilai x1, x2, dan x3.

    \vspace{1pc} \large x_1 -\frac{5}{8} x_2 = 0 \mapsto x_1 = \frac{5}{8}x_2 \\ -\frac{1}{8}x_2 + x_3 = 0 \mapsto x_3 = \frac{1}{8}x_2

  6. Nilai variabel x2 = t dan t = parameter

    \large \begin{bmatrix} x_1 \\x_2 \\x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{5}{8} \\ 1 \\\frac{1}{8} \end{bmatrix} t \times 8 = \begin{bmatrix} 5 \\8 \\1 \end{bmatrix}t

    \large x_1 = 5t\: x_2 = 8t\: x_3 = t

Variabel Acuan = x

Solusi SPL Homogen

\large \left [\left.\begin{matrix} 1 &0 &c \\ 0 &1 &f \end{matrix}\right|\begin{matrix} 0\\ 0 \end{matrix}\right]

Nilai ketiga variabel menggunakan parameter

\vspace{1pc} \Large x_{1} = -ct \\ \vspace{1pc} x_{2} = -ft \\ x_{3} = t

Penyelesaian:

  1. Ubah SPL Homogen menjadi matriks augmentasi.

    \large \left [\left.\begin{matrix} 4 &-3 &4 \\ -3 &2 &-1 \end{matrix}\right|\begin{matrix} 0\\ 0 \end{matrix}\right]

  2. Ubah elemen menjadi nol.

    \vspace{1pc} \large 4R_{2} + 3R_{1} \\ \left [\left.\begin{matrix} 4 &-3 &4 \\ 0 &-1 &8 \end{matrix}\right|\begin{matrix} 0\\ 0 \end{matrix}\right]

  3. Ubah elemen menjadi nol.

    \vspace{1pc} \large R_{1} - 3R_{2} \\ \left [\left.\begin{matrix} 4 &0 &-20 \\ 0 &-1 &8 \end{matrix}\right|\begin{matrix} 0\\ 0 \end{matrix}\right]

  4. Ubah elemen dan e  menjadi satu.

    \vspace{1pc} \large \frac{R_{1}}{4}\; \frac{R_{2}}{-1} \\ \left [\left.\begin{matrix} 1 &0 &-5 \\ 0 &1 &-8 \end{matrix}\right|\begin{matrix} 0\\ 0 \end{matrix}\right]

  5. Mencari nilai x1, x2, dan x3.

    \vspace{1pc} \large x_1 - 5x_3 = 0 \mapsto x_1 = 5x_3 \\ x_2 - 8x_3 = 0 \mapsto x_2 = 8x_3

  6. Nilai variabel x3 = t dan t = parameter

    \large \begin{bmatrix} x_1 \\x_2 \\x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\8 \\1 \end{bmatrix}t

    \large x_1 = 5t\: x_2 = 8t\: x_3 = t

Penyelesaian SPL Homogen dengan tiga variabel acuan menghasilkan solusi yang sama.

SPL Homogen: 3×2 > 3×3 > 2×3

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *