Determinan Matriks 3×3 Metode Ekspansi Kofaktor

Walaupun konsep dasar minor dan kofaktor sama, akan tetapi terdapat perbedaan penggunaan minor dan kofaktor dalam menghitung determinan dan invers matriks 3×3.

Dalam determinan, minor-kofaktor yang dihitung hanya terbatas pada baris atau kolom tertentu saja dan biasa disebut ekspansi baris dan ekspansi kolom.

Sedangkan dalam invers, kita harus menghitung sembilan elemen minor dan kofaktor sampai diperoleh matriks baru yaitu matriks minor dan matriks kofaktor.

Minor

Definisi minor adalah determinan submatriks persegi setelah salah satu baris dan kolomnya dihilangkan.

Minor dilambangkan dengan “Mij” dimana “i” sebagai baris dan “j” sebagai kolom matriks yang dihilangkan.

Baris dan kolom dihilangkan bukan berarti dibuang, akan tetapi baris dan kolom tersebut hanya tidak diikutsertakan dalam submatriks yang baru.

Submatriks artinya bagian kecil dari matriks, sedangkan matriks persegi adalah matriks yang mempunyai jumlah baris sama dengan jumlah kolom atau sebut saja berordo nxn. Misalnya matriks persegi 3×3 maka submatriksnya berordo 2×2.

Jadi, menghitung minor matriks 3×3 adalah menghitung determinan submatriks 2×2.

Contoh: M12 = baris ke-1 dan kolom ke-2 dihilangkan

Matriks Submatriks Minor
 A_{3\times3} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21}& a_{22} & a_{23} \\ a_{31}& a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}  M_{12} = \begin{bmatrix}\cdots &\cdots &\cdots \\ a_{21}&\vdots & a_{23} \\ a_{31}&\vdots & a_{33} \end{bmatrix} \vspace{1pc} M_{12} = \begin{bmatrix} a_{21} &a_{23} \\ a_{31} &a_{33} \end{bmatrix}\\ \left | M_{12} \right |=a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}

Contoh: M23 = baris ke-2 dan kolom ke-3 dihilangkan

Matriks Submatriks Minor
 A_{3\times3} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21}& a_{22} & a_{23} \\ a_{31}& a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}  M_{23} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \vdots \\  \cdots & \cdots & \vdots \\ a_{31}& a_{32} & \vdots \end{bmatrix} \vspace{1pc} M_{23} = \begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{31} &a_{32} \end{bmatrix}\\ \left | M_{23} \right |=a_{11}a_{32}-a_{12}a_{31}

Kofaktor

Dalam kofaktor, elemen minor matriks dapat bernilai positif dan negatif. Kofaktor dilambangkan dengan “Cij” dan dapat dihitung dengan rumus:

C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}

Contoh:

Kofaktor (C11) Kofaktor (C12) Kofaktor (C13)
\vspace{1pc} C_{11} = (-1)^{1+1}M_{11} \\ C_{11} = (-1)^{2} M_{11} = M_{11} \vspace{1pc} C_{12} = (-1)^{1+2}M_{12} \\ \vspace{1pc} C_{12} = (-1)^{3} M_{12} \\ \vspace{1pc} C_{12} = (-1) M_{12} = -M_{12} \vspace{1pc} C_{13} = (-1)^{1+3}M_{13} \\ \vspace{1pc} C_{13} = (-1)^{4} M_{13} \\ \vspace{1pc} C_{13} = M_{13}

Cara mudah untuk mengetahui nilai kofaktor, yaitu:

Jika i + j = bilangan genap maka kofaktor bernilai positif
Dan jika i + j = bilangan ganjil maka kofaktor bernilai negatif

Sebenarnya tanpa menghitung satu persatu kita bisa dengan mudah mengetahui tanda kofaktor matriks. Caranya cukup tuliskan tanda positif dan negatif secara bergantian di depan lambang minor.

 C_{3\times3} = \begin{bmatrix} M_{11} & -M_{12} & M_{13} \\ -M_{21}& M_{22} & -M_{23} \\ M_{31}& -M_{32} & M_{33} \end{bmatrix}

Seperti yang saya tulis sebelumnya bahwa terdapat perbedaan cara menghitung determinan dan invers matriks 3×3.

Oleh karena itu, untuk selanjutnya pembahasan minor-kofaktor dalam invers bisa dibaca dalam invers matriks ordo 3×3.

Sedangkan pembahasan ini berlanjut ke determinan metode ekspansi kofaktor yaitu ekspansi baris dan kolom.




Ekspansi Baris

Ekspansi baris dimulai dari setiap elemen kolom pertama atau elemen dengan nilai j = 1 (ai1) dan arahnya bergerak secara mendatar sepanjang jumlah kolom matriks.

Rumus umum determinan ekspansi baris:

\vspace{1pc} \left | A_{n\times n} \right |= a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + \cdots + a_{in}C_{in} \\ \vspace{1pc}  \left | A_{n\times n} \right |= a_{i1}(-1)^{i+1}M_{i1} + a_{i2}(-1)^{i+2}M_{i2} + \cdots + a_{in}(-1)^{i+n}M_{in} \\ \left | A_{n\times n} \right |= a_{i1}M_{i1} + a_{i2}M_{i2} + \cdots + a_{in}M_{in}

Kenapa tandanya + (plus) semua?

Karena tanda plus atau minus ditentukan oleh kofaktor dan ekspansi baris mana yang digunakan.

Jika ekspansi baris ganjil misalnya ekspansi baris pertama dan baris ketiga, maka tandanya dimulai dengan positif.

Dan jika ekspansi baris genap seperti ekspansi baris kedua dan baris keempat, maka rumusnya dimulai dengan tanda negatif.

Dan hal yang hampir sama juga berlaku pada rumus umum ekspansi kolom.

Jadi, berdasarkan pola rumus umum tersebut dapat ditentukan tiga rumus determinan ekspansi baris matriks 3×3, yaitu:

Ekspansi baris pertama

ekspansi baris pertama

\vspace{1pc} \left | A_{3\times 3} \right |=a_{11}M_{11}-a_{12}M_{12}+a_{13}M_{13} \\ \vspace{1pc} \left | A_{3\times 3} \right |=a_{11}\begin{bmatrix} a_{22} &a_{23} \\ a_{32} &a_{33}\end{bmatrix}-a_{12}\begin{bmatrix} a_{21} &a_{23} \\ a_{31} &a_{33} \end{bmatrix}+a_{13}\begin{bmatrix} a_{21} &a_{22} \\ a_{31} &a_{32}\end{bmatrix}

Ekspansi baris kedua

\vspace{1pc} \left | A_{3\times 3} \right |=-a_{21}M_{21}+a_{22}M_{22}-a_{23}M_{23} \\ \vspace{1pc} \left | A_{3\times 3} \right |=-a_{21}\begin{bmatrix} a_{12} &a_{13} \\ a_{32} &a_{33}\end{bmatrix}+a_{22}\begin{bmatrix} a_{11} &a_{13} \\ a_{31} &a_{33} \end{bmatrix}-a_{23}\begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{31} &a_{32}\end{bmatrix}

Ekspansi baris ketiga

\vspace{1pc} \left | A_{3\times 3} \right |=a_{31}M_{31}-a_{32}M_{32}+a_{33}M_{33} \\ \vspace{1pc} \left | A_{3\times 3} \right |=a_{31}\begin{bmatrix} a_{12} &a_{13} \\ a_{22} &a_{23}\end{bmatrix}-a_{32}\begin{bmatrix} a_{11} &a_{13} \\ a_{21} &a_{23} \end{bmatrix}+a_{33}\begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{21} &a_{22}\end{bmatrix}

Meskipun mudah namun tanda kofaktor justru yang paling sering menjadi penyebab kesalahan menghitung determinan. Jadi, telitilah dalam menuliskan rumus ekspansi!

Contoh Soal: hitunglah determinan matriks berikut dengan cara ekspansi kofaktor!

\large A = \begin{bmatrix} -2 &4 &-5 \\ 1 &3 &-7 \\ -1 &4 &-8 \end{bmatrix}

Penyelesaian:

Ekspansi Baris Pertama

 \vspace{1pc} \left | A \right |  = \begin{bmatrix} -2 &\cdots &\cdots \\ \vdots &3 &-7 \\ \vdots &4 &-8 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} \cdots &4 &\cdots \\ 1 &\vdots &-7 \\ -1 &\vdots &-8 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} \cdots &\cdots &-5 \\ 1 &3 &\vdots \\ -1 &4 &\vdots \end{bmatrix} \\ \vspace{1pc} \left | A \right |= -2\begin{bmatrix} 3 &-7 \\ 4 &-8 \end{bmatrix} - 4 \begin{bmatrix} 1 &-7 \\ -1 &-8 \end{bmatrix} - 5 \begin{bmatrix} 1 &3\\ -1 &4 \end{bmatrix} \\ \vspace{1pc} \left | A \right |= -2 [(3\times -8) - (-7\times 4)] - 4 [(1\times -8) - (-7\times -1)] -5 [(1\times 4) - (3\times -1)] \\ \large \left | A \right |= -8 +60 - 35 = 17

Rumus manapun (ekspansi baris ke-1, ke-2, atau ke-3) yang digunakan akan menghasilkan nilai determinan yang sama yaitu 17. Coba anda hitung sendiri jika hasilnya berbeda kemungkinan salah perhitungan.

Lalu untuk apa ada tiga rumus jika salah satunya saja sudah bisa menghitung determinan?

Jawabannya adalah “elemen nol”.

Maksudnya jika suatu matriks memiliki satu atau beberapa elemen nol, maka perhitungan determinannya bisa lebih cepat.

Kemudian karena posisi elemen nol bisa berada di baris pertama, kedua atau ketiga. Maka, disinilah fungsi dari ketiga rumus ekspansi baris dalam menghitung determinan.

Satu Elemen Nol

Jika hanya ada satu elemen nol, perhitungan determinan bisa menggunakan rumus ekspansi baris atau kolom.  Dengan syarat gunakanlah baris atau kolom yang berisi elemen nol.

Contoh soal:

\large B = \begin{bmatrix} -2 &4 &-5 \\ 0 &3 &-7 \\ -1 &4 &-8 \end{bmatrix}

Penyelesaian:

Ekspansi baris kedua

\vspace{1pc} \left | B \right | = -\begin{bmatrix} \vdots &4 &-5 \\ 0 &\cdots &\cdots \\ \vdots &4 &-8 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -2 &\vdots &-5 \\ \cdots &3 &\cdots \\ -1 &\vdots &-8 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -2 &4 &\vdots \\ \cdots &\cdots &-7 \\ -1 &4 &\vdots \end{bmatrix}\\ \vspace{1pc} \left | B \right | =  -0 \begin{bmatrix} 4 &-5 \\ 4 &-8 \end{bmatrix} + 3 \begin{bmatrix} -2 &-5 \\ -1 &-8 \end{bmatrix} -(-7) \begin{bmatrix} -2 &4 \\ -1 &4 \end{bmatrix} \\ \vspace{1pc} \left | B \right |= 0 + 3 [(-2\times -8) - (-5\times -1)] + 7 [(-2\times 4) - (4\times -1)] \\ \left | B \right |= 33-28=5

Dua Elemen Nol

Pertama, dua elemen nol dalam baris atau kolom berbeda, cara perhitungan determinan sama dengan cara satu elemen nol. Jadi, gunakan saja ekspansi baris seperti contoh diatas.

Kedua, dua elemen nol dalam baris yang sama.

Contoh soal:

\large C = \begin{bmatrix} -2 &4 &-5 \\ 1 &3 &-7 \\ 0 &4 &0 \end{bmatrix}

Penyelesaian:

Ekspansi baris ketiga

\vspace{1pc} \left | C \right |= \begin{bmatrix} \vdots &4 &-5 \\ \vdots &3 &-7 \\ 0 &\cdots &\cdots \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -2 &\vdots &-5 \\ 1 &\vdots &-7 \\ \cdots &4 &\cdots \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -2 &4 &\vdots \\ 1 &3 &\vdots \\ \cdots &\cdots &0 \end{bmatrix} \\ \vspace{1pc} \left | C \right |= 0 \begin{bmatrix} 4 &-5 \\ 3 &-7 \end{bmatrix} - 4 \begin{bmatrix} -2 &-5 \\ 1 &-7 \end{bmatrix} + 0 \begin{bmatrix} -2 &4 \\ 1 &3 \end{bmatrix} \\ \vspace{1pc} \left | C \right | = 0 - 4[(-2\times -7) - (-5\times 1)] + 0 \\ \left | C \right | = -4(14+5) = -76

Tiga elemen nol

Pertama, tiga elemen nol dalam baris atau kolom berbeda, cara perhitungan determinan sama dengan cara satu elemen nol.

Kedua, dua elemen nol dalam baris yang sama, gunakan cara dua elemen nol.

Ketiga, tiga elemen nol dalam baris yang sama, maka nilai determinan = 0.

Contoh Soal: hitunglah determinan matriks berikut dengan cara ekspansi kofaktor!

\large D = \begin{bmatrix} -2 &4 &-5 \\ 0 &0 &0 \\ -1 &4 &-8 \end{bmatrix}

Penyelesaian:

Ekspansi baris kedua

\vspace{1pc} \left | D \right | = -\begin{bmatrix} \vdots &4 &-5 \\ 0 &\cdots &\cdots \\ \vdots &4 &-8 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -2 &\vdots &-5 \\ \cdots &0 &\cdots \\ -1 &\vdots &-8 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -2 &4 &\vdots \\ \cdots &\cdots &0 \\ -1 &4 &\vdots \end{bmatrix}\\ \vspace{1pc} \left | D \right | =  -0 \begin{bmatrix} 4 &-5 \\ 4 &-8 \end{bmatrix} + 0 \begin{bmatrix} -2 &-5 \\ -1 &-8 \end{bmatrix} -0 \begin{bmatrix} -2 &4 \\ -1 &4 \end{bmatrix} \\ \vspace{1pc} \left | D \right |= 0

Ekspansi Kolom

Ekspansi kolom diawali dari setiap elemen baris pertama atau elemen dengan nilai i = 1 (a1j) dan arahnya bergerak menurun sepanjang jumlah baris matriks.

Rumus umum determinan ekspansi kolom:

\vspace{1pc} \left | A_{n\times n} \right |= a_{1j}C_{1j} + a_{2j}C_{2j} + \cdots + a_{nj}C_{nj} \\ \vspace{1pc}  \left | A_{n\times n} \right |= a_{1j}(-1)^{1+j}M_{1j} + a_{2j}(-1)^{2+j}M_{2j} + \cdots + a_{nj}(-1)^{n+j}M_{nj} \\ \left | A_{n\times n} \right |=  a_{1j}M_{1j} + a_{2j}M_{2j} + \cdots + a_{nj}M_{nj}

Kemudian tiga rumus determinan ekspansi kolom matriks 3×3, yaitu:

Ekspansi kolom pertama

\vspace{1pc} \left | A_{3\times 3} \right |=a_{11}M_{11}-a_{21}M_{21}+a_{31}M_{31} \\ \vspace{1pc} \left | A_{3\times 3} \right |=a_{11}\begin{bmatrix} a_{22} &a_{23} \\ a_{32} &a_{33}\end{bmatrix}-a_{21}\begin{bmatrix} a_{12} &a_{13} \\ a_{32} &a_{33} \end{bmatrix}+a_{31}\begin{bmatrix} a_{12} &a_{13} \\ a_{22} &a_{23}\end{bmatrix}

Ekspansi kolom kedua

\vspace{1pc} \left | A_{3\times 3} \right |=-a_{12}M_{12}+a_{22}M_{22}-a_{32}M_{32} \\ \vspace{1pc} \left | A_{3\times 3} \right |=-a_{12}\begin{bmatrix} a_{21} &a_{23} \\ a_{31} &a_{33}\end{bmatrix}+a_{22}\begin{bmatrix} a_{11} &a_{13} \\ a_{31} &a_{33} \end{bmatrix}-a_{32}\begin{bmatrix} a_{11} &a_{13} \\ a_{21} &a_{23}\end{bmatrix}

Ekspansi kolom ketiga

\vspace{1pc} \left | A_{3\times 3} \right |=a_{13}M_{13}-a_{23}M_{23}+a_{33}M_{33} \\ \vspace{1pc} \left | A_{3\times 3} \right |=a_{13}\begin{bmatrix} a_{21} &a_{22} \\ a_{31} &a_{32}\end{bmatrix}-a_{23}\begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{31} &a_{32} \end{bmatrix}+a_{33}\begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{21} &a_{22}\end{bmatrix}

Berikut ini contoh perhitungan determinan matriks dengan salah satu rumus ekspansi kolom.

Contoh Soal: hitunglah determinan matriks berikut dengan cara ekspansi kofaktor!

\large A = \begin{bmatrix} -2 &4 &-5 \\ 1 &3 &-7 \\ -1 &4 &-8 \end{bmatrix}

Penyelesaian:

Ekspansi kolom pertama

\vspace{1pc} \left | A \right |= \begin{bmatrix} -2 &\cdots &\cdots \\ \vdots &3 &-7 \\ \vdots &4 &-8 \end{bmatrix} -\begin{bmatrix} \vdots &4 &-5 \\ 1 &\cdots &\cdots \\ \vdots &4 &-8 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \vdots &4 &-5 \\ \vdots &3 &-7 \\ -1 &\cdots &\cdots \end{bmatrix} \\ \vspace{1pc} \left | A \right | = -2 \begin{bmatrix} 3 &-7 \\ 4 &-8 \end{bmatrix} -1 \begin{bmatrix} 4 &-5 \\ 4 &-8 \end{bmatrix} + (-1) \begin{bmatrix} 4 &-5 \\ 3 &-7 \end{bmatrix} \\ \vspace{1pc} \left | A \right | = -2[(3\times -8) - (-7\times 4)] -1[(4\times -8) - (-5\times 4)] -1[(4\times-7)-(-5\times 3)] \\ \left | A \right | = -8+12+13=17

Seperti halnya ekspansi baris, penggunaan rumus ekspansi kolom disesuaikan dengan posisi dan jumlah elemen nol dalam matriks.

Satu Elemen Nol

Jika hanya ada satu elemen nol, bisa menggunakan rumus ekspansi baris atau kolom.

Contoh soal:

\large E = \begin{bmatrix} -2 &4 &-5 \\ 1 &3 &-7 \\ -1 &4 &0 \end{bmatrix}

Penyelesaian:

Ekspansi kolom ketiga

\vspace{1pc} \left | E \right |= \begin{bmatrix} \cdots &\cdots &-5 \\ 1 &3 &\vdots \\ -1 &4 &\vdots \end{bmatrix} -\begin{bmatrix} -2 &4 &\vdots \\ \cdots &\cdots &-7 \\ -1 &4 &\vdots \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -2 &4 &\vdots \\ 1 &3 &\vdots \\ \cdots &\cdots &0 \end{bmatrix} \\ \vspace{1pc} \left | E \right | = -5 \begin{bmatrix} 1 &3 \\ -1 &4 \end{bmatrix} -(-7) \begin{bmatrix} -2 &4 \\ -1 &4 \end{bmatrix} + 0 \begin{bmatrix} -2 &4 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \\ \vspace{1pc} \left | E \right | = -5[(1\times 4) - (3\times -1)] +7[(-2\times 4) - (4\times -1)] + 0 \\ \left | E \right | = -35-28=-63

Dua elemen nol

Pertama, dua elemen nol dalam dua baris atau kolom berbeda, cara perhitungan determinan sama dengan cara satu elemen nol. Jadi, gunakan saja ekspansi baris atau kolom seperti contoh diatas.

Kedua, dua elemen nol dalam kolom yang sama.

Contoh soal:

\large F = \begin{bmatrix} -2 &0 &-5 \\ 1 &0 &-7 \\ -1 &4 &-8 \end{bmatrix}

Penyelesaian:

Ekspansi Kolom Kedua

\vspace{1pc} \left | F \right | = -\begin{bmatrix} \cdots &0 &\cdots \\ 1 &\vdots &-7 \\ -1 &\vdots &-8 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -2 &\vdots &-5 \\ \cdots &0 &\cdots \\ -1 &\vdots &-8 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -2 &\vdots &-5 \\ 1 &\vdots &-7 \\ \cdots &4 &\cdots \end{bmatrix} \\ \vspace{1pc} \left | F \right |= -0\begin{bmatrix} 1 &-7 \\ -1 &-8 \end{bmatrix} + 0 \begin{bmatrix} -2 &-5 \\ -1 &-8 \end{bmatrix} -4 \begin{bmatrix} -2 &-5 \\ 1 &-7 \end{bmatrix} \\ \vspace{1pc} \left | F \right |= 0 + 0 -4[(-2\times -7)-(-5\times 1)] \\ \left | F \right |=-4(14-(-5))=-76

Tiga elemen nol

Caranya hampir sama dengan tiga elemen nol yang dibahas sebelumnya.

Pertama, tiga elemen nol dalam tiga baris atau kolom berbeda, maka hitung dengan cara satu elemen nol.

Kedua, dari tiga elemen nol, dua diantaranya dalam kolom yang sama. Maka, caranya seperti dua elemen nol.

Ketiga, jika tiga elemen nol dalam satu kolom, maka nilai determinan = 0.

Contoh Soal: hitunglah determinan matriks berikut dengan cara ekspansi kofaktor!

\large G = \begin{bmatrix} 0 &4 &-5 \\ 0 &3 &-7 \\ 0 &4 &-8 \end{bmatrix}

Penyelesaian:

Ekspansi kolom pertama

\vspace{1pc} \left | G \right |= \begin{bmatrix} 0 &\cdots &\cdots \\ \vdots &3 &-7 \\ \vdots &4 &-8 \end{bmatrix} -\begin{bmatrix} \vdots &4 &-5 \\ 0 &\cdots &\cdots \\ \vdots &4 &-8 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \vdots &4 &-5 \\ \vdots &3 &-7 \\ 0 &\cdots &\cdots \end{bmatrix} \\ \vspace{1pc} \left | G \right | = 0 \begin{bmatrix} 3 &-7 \\ 4 &-8 \end{bmatrix} -0 \begin{bmatrix} 4 &-5 \\ 4 &-8 \end{bmatrix} + 0 \begin{bmatrix} 4 &-5 \\ 3 &-7 \end{bmatrix} \\ \vspace{1pc} \left | G \right | = 0

Metode determinan selanjutnya mempunyai cara yang berbeda, yaitu mengubah matriks menjadi matriks segitiga atas dan bawah. Ya, apalagi kalau bukan metode Operasi Baris Elementer.

Atau mungkin anda mencari pembahasan minor-kofaktor dalam invers matriks 3×3.

DETERMINAN MATRIKS 3×3

SARRUS > EKSPANSI KOFAKTOR > OBE

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *