Metode Eliminasi Gauss & Gauss Jordan 4×4

Setelah membahas Eliminasi Gauss & Gauss Jordan 3×3, kali ini saya akan menjelaskan Eliminasi Gauss dan Gauss Jordan untuk Sistem Persamaan Linear (SPL) 4 Variabel.

Beberapa istilahnya sudah sering kita dengar sebelumnya, seperti matriks augmentasi (matriks yang diperlebar), matriks eselon baris, dan matriks eselon baris tereduksi.

Hal yang membedakan dengan pembahasan sebelumnya adalah jumlah variabel lebih banyak yaitu 4 variabel.

SPL 4 Variabel

Bentuk umum:

\vspace{1pc} \Large a\sb1 x\sb1+ b\sb1 x\sb2 + c\sb1 x\sb3 + d\sb1 x\sb4 = p \\ \vspace{1pc}  a\sb2 x\sb1+ b\sb2 x\sb2 + c\sb2 x\sb3 + d\sb2 x\sb4 = q \\ \vspace{1pc}  a\sb3 x\sb1+ b\sb3 x\sb2 + c\sb3 x\sb3 + d\sb3 x\sb4 = r \\ a\sb4 x\sb1+ b\sb4 x\sb2 + c\sb4 x\sb3 + d\sb4 x\sb4= s

Ubah persamaan tersebut menjadi matriks augmentasi

\Large \left [\left.\begin{matrix} a &b &c &d \\ e &f &g &h \\ i &j &k &l \\ m &n &o &p  \end{matrix}\right|\begin{matrix} r\\ s\\ t\\ u \end{matrix}\right]

Eliminasi Gauss

Langkah eliminasi dimulai dari e – i – m – n – j – o – p – k – f – a dengan elemen kunci yang berwarna hijau yaitu a, f, k, dan p.

pola eliminasi gauss 4x4

Hingga terbentuk matriks eselon baris dan diperoleh nilai variabel x4.

\Large \left [\left.\begin{matrix} 1 &b &c &d \\ 0 &1 &g &h \\ 0 &0 &1 &l \\ 0 &0 &0 &1 \end{matrix}\right|\begin{matrix} r\\ s\\ t\\ x\sb4 \end{matrix}\right]

Langkah dilanjutkan dengan substitusi balik untuk mencari nilai variabel x1, x2, dan x3.

Contoh Soal

Contoh: Tentukan nilai keempat variabel dari sistem persamaan linear berikut!

SPL A

\vspace{1pc}\Large 8x\sb1 - 9x\sb2 + x\sb3 - 8x\sb4 = 80 \\ \vspace{1pc} -3x\sb1 - x\sb2 + 5x\sb3 + 4x\sb4 = 7 \\ \vspace{1pc} -2x\sb1 - x\sb2 - 3x\sb3 + 8x\sb4 = -30 \\ -2x\sb1 - 8x\sb2 - x\sb3 + 2x\sb4= 18

SPL B

\vspace{1pc} \Large 2w - x + 3y - z = 11 \\ \vspace{1pc} -w - 2x - y - z = -4 \\ \vspace{1pc} 3w + 3x + y + 3z = -2 \\ -2w + 2x -2y + 2z = 4

Penyelesaian:

  1. Ubah SPL diatas menjadi matriks augmentasi.Eliminasi Gauss 4x4 langkah 1
  2. Khusus untuk mengubah elemen e menjadi nol, kita bisa menggunakan elemen yang lebih mudah dihitung.Eliminasi Gauss 4x4 langkah 2
  3. Ubah elemen i menjadi nol menggunakan kunci elemen a.Eliminasi Gauss 4x4 langkah 3
  4. Ubah elemen m menjadi nol menggunakan kunci elemen a.Eliminasi Gauss 4x4 langkah 4
  5. Ubah elemen n menjadi nol menggunakan kunci elemen f.Eliminasi Gauss 4x4 langkah 5
  6. Ubah elemen j menjadi nol menggunakan kunci elemen f.Eliminasi Gauss 4x4 langkah 6
  7. Ubah elemen o menjadi nol menggunakan kunci elemen k.Eliminasi Gauss 4x4 langkah 7
  8. Ubah elemen a, f, k, p menjadi angka satu dengan cara:4 x 4 spl
    SPL A

    \large x\sb4 = -2

    SPL B

    \large z = \frac{27}{4} = 6,75

    Substitusi nilai x4 dan ke persamaan 3 (baris ketiga)

    SPL A

    \vspace{1pc} \large x\sb3 - \frac{46}{59}x\sb4 = \frac{328}{59} \\ \vspace{1pc} x\sb3 - \frac{46}{59}(-2) = \frac{328}{59} \\ x\sb3 = 4

    SPL B

    \vspace{1pc}\large y - \frac{9}{13}z = \frac{79}{13} \\ \vspace{1pc} y - \frac{9}{13}(\frac{27}{4} = \frac{79}{13} \\ y = \frac{43}{4}=10,75

    Substitusi nilai x3, x4, y dan ke persamaan 2 (baris kedua)

    SPL A

    \vspace{1pc}\large x\sb2 + 19x\sb3 - 16x\sb4 = 104 \\ \vspace{1pc} x\sb2 + 9(4) - 16(-2) = 104 \\ x\sb2 = -4

    SPL B

    \vspace{1pc} \large x - \frac{1}{5}y + \frac{3}{5}z = -\frac{3}{5} \\ \vspace{1pc} x - \frac{1}{5}y + \frac{3}{5}z = -\frac{3}{5} \\ x = -\frac{5}{2} = -2,5

    Substitusi nilai x2, x3, x4, xy dan ke persamaan 1 (baris pertama )

    SPL A

    \vspace{1pc} \large x\sb1 - \frac{9}{8}x\sb2 + \frac{1}{8}x\sb3 - x\sb4 = 10 \\ \vspace{1pc} x\sb1 - \frac{9}{8}(4) + \frac{1}{8}(4) + 2 = 10 \\ x\sb1 = 3

    SPL B

    \vspace{1pc} \large w - \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}y - \frac{1}{2}z = \frac{11}{2} \\ \vspace{1pc} w - \frac{1}{2}(-\frac{5}{2}) + \frac{3}{2}(\frac{43}{4}) - \frac{1}{2}(\frac{27}{4}) = \frac{11}{2} \\ w = -\frac{17}{2} = -8,5





    Eliminasi Gauss Jordan

    Eliminasi Gauss Jordan adalah lanjutan dari eliminasi Gauss hingga membentuk matriks eselon baris tereduksi.

    Urutan langkah OBE K digunakan untuk menghitung invers matriks 4×4 metode OBE.

    Selain itu juga dapat digunakan untuk mempermudah langkah eliminasi Gauss Jordan.

    Invers Matriks 4x4 OBE KUrutan langkahnya dimulai dari e – i – m – n – j – o – p – l – h – d – c – g – f – b – a, sampai terbentuk matriks eselon baris tereduksi dan diperoleh nilai keempat variabel.

    \Large \left [\left.\begin{matrix} 1 &0 &0 &0 \\ 0 &1 &0 &0 \\ 0 &0 &1 &0 \\ 0 &0 &0 &1 \end{matrix}\right|\begin{matrix} x\sb1 \\ x\sb2\\ x\sb3\\ x\sb4 \end{matrix}\right]

    Contoh Soal

    Dari contoh soal Eliminasi Gauss: tentukan nilai keempat variabel dari sistem persamaan linear berikut!

    SPL A

    \vspace{1pc} \Large 8x\sb1 - 9x\sb2 + x\sb3 - 8x\sb4 = 80 \\ \vspace{1pc} -3x\sb1 - x\sb2 + 5x\sb3 + 4x\sb4 = 7 \\ \vspace{1pc} -2x\sb1 - x\sb2 - 3x\sb3 + 8x\sb4 = -30 \\ -2x\sb1 - 8x\sb2 - x\sb3 + 2x\sb4= 18

    SPL B

    \vspace{1pc} \Large 2w - x + 3y - z = 11 \\ \vspace{1pc} -w - 2x - y - z = -4 \\ \vspace{1pc} 3w + 3x + y + 3z = -2 \\ -2w + 2x -2y + 2z = 4

    Penyelesaian:

    Langkah 1 – 7 lihat Eliminasi Gauss diatas.

    8. Ubah elemen p menjadi angka satu dengan cara:Eliminasi Gauss 4x4 langkah 8

  9. Ubah elemen l menjadi nol menggunakan kunci elemen p.Eliminasi Gauss Jordan 4x4 langkah 9
  10. Ubah elemen k menjadi angka satu dengan cara:Eliminasi Gauss Jordan 4x4 langkah 10
  11. Ubah elemen h menjadi nol menggunakan kunci elemen p.Eliminasi Gauss Jordan 4x4 langkah 11
  12. Ubah elemen d menjadi nol menggunakan kunci elemen p.Eliminasi Gauss Jordan 4x4 langkah 12
  13. Ubah elemen c menjadi nol menggunakan kunci elemen k.Eliminasi Gauss Jordan 4x4 langkah 13
  14. Ubah elemen g menjadi nol menggunakan kunci elemen k.Eliminasi Gauss Jordan 4x4 langkah 14
  15. Ubah elemen f menjadi angka satu dengan cara:Eliminasi Gauss Jordan 4x4 langkah 15
  16. Ubah elemen b menjadi nol menggunakan kunci elemen f.Eliminasi Gauss Jordan 4x4 langkah 16
  17. Ubah elemen a menjadi angka satu dengan cara:Eliminasi Gauss Jordan 4x4 langkah 17

Sehingga diperoleh:

SPL A

\vspace{1pc} \Large x\sb1 = 3 \\ \vspace{1pc} x\sb2 = -4 \\ \vspace{1pc} x\sb3 = 4 \\ x\sb4 = -2

SPL B

\vspace{1pc} \Large w = -8,5 \\ \vspace{1pc} x = -2,5 \\ \vspace{1pc} y = 10,75 \\ z = 6,75

Pembahasan terkait:

SPL 3 Variabel: Cramer > Gauss & Gauss Jordan > SPL Homogen

 

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *