Metode Eliminasi Gauss & Gauss Jordan 3×3

Setelah membahas SPL 3 Variabel metode Cramer, pembahasan berikutnya adalah penyelesaian Sistem Persamaan Linear (SPL) 3 Variabel menggunakan eliminasi Gauss dan Gauss Jordan.

Secara teori kedua eliminasi ini sederhana, tapi pada saat perhitungan menggunakan operasi baris elementer (OBE) cukup luar biasa.

Proses OBE untuk mengubah suatu matriks menjadi matriks eselon baris atau matriks eselon baris tereduksi bukanlah hal yang mudah.

SPL 3 Variabel

Bentuk umum:

\vspace{1pc} \Large a\sb1 x + b\sb1 y + c\sb1 z = p \\ \vspace{1pc} a\sb2 x + b\sb2 y + c\sb2 z = q \\ a\sb3 x + b\sb3 y + c\sb3 z = r

Ubah persamaan tersebut menjadi matriks augmentasi

\Large \left [\left.\begin{matrix} a &b &c \\ d &e &f \\ g &h &i \end{matrix}\right|\begin{matrix} p\\ q\\ r \end{matrix}\right]

Eliminasi Gauss

Eliminasi dimulai dari elemen g – d – h – a – e – i hingga terbentuk matriks eselon baris dan nilai variabel z.

\Large \left [\left.\begin{matrix} 1 &b &c \\ 0 &1 &f \\ 0 &0 &1 \end{matrix}\right|\begin{matrix} p\\ q\\ z \end{matrix}\right]

Langkah dilanjutkan dengan substitusi balik untuk mencari nilai variabel x dan y.

Contoh Soal

Contoh soal: Tentukan nilai x, y, dan z dari tiga sistem persamaan linear berikut ini!

SPL A

\vspace{1pc} -2x+5y-z=8 \\ \vspace{1pc} 3x-4y+2z=5 \\ x+5y-3z=6

SPL B

\vspace{1pc} x+y+2z=8 \\ \vspace{1pc} -x-2y+3z=1 \\ 3x+7y+4z=10

SPL C

\vspace{1pc} 3x+y-z=2 \\ \vspace{1pc} 2x-y+z=3 \\ x+y+z=6

Penyelesaian:

  1. Ubah  SPL diatas menjadi matriks augmentasi.Eliminasi Gauss Jordan 3x3 1
  2. Khusus untuk mengubah elemen g menjadi nol, kita bisa menggunakan kunci elemen a atau elemen d. Pilihlah elemen yang lebih mudah dihitung.Eliminasi Gauss Jordan 3x3 2
  3. Ubah elemen menjadi nol menggunakan kunci elemen a.Eliminasi Gauss Jordan 3x3 3
  4. Ubah elemen menjadi nol menggunakan kunci elemen e.Eliminasi Gauss Jordan 3x3 4
  5. Ubah elemen a, e, dan menjadi angka satu dengan cara: spl gauss1

Nilai variabel z

SPL A

z = -0,275

SPL B

z = \frac {11}{9}

SPL C

z = 3

Substitusi nilai z ke persamaan 2 (baris kedua)

SPL A

\vspace{1pc} y - \frac{7}{23} z = \frac{14}{23} \\ \vspace{1pc} y - \frac{7}{23}(-0,275) = \frac{14}{23} \\ y = 0,525

SPL B

\vspace{1pc} y - 5z = -9 \\ \vspace{1pc} y - 5(\frac {11}{9}) = -9 \\ y = -\frac {26}{9}

SPL C

y – z = -1

y – 3 = -1

y = 2

Substitusi nilai y dan z ke persamaan 1 (baris pertama)

SPL A

\vspace{1pc} x + \frac{5}{2} y - \frac{1}{2} z = 4 \\ \vspace{1pc} x + \frac{5}{2} (0,525) - \frac{1}{2} (-0,275) = 4 \\ x = 2,55

SPL B

\vspace{1pc}x + y + 2z = 8 \\ \vspace{1pc} x + (-\frac {26}{9}) + 2(\frac {11}{9}) = 8 \\ x = \frac {76}{9}

SPL C

\vspace{1pc} x + \frac{1}{3}y - \frac{1}{3}z = \frac{2}{3} \\ \vspace{1pc} x + \frac{1}{3}(2) - \frac{1}{3}(3) =\frac{2}{3} \\ x = 1

 





Eliminasi Gauss Jordan

Eliminasi Gauss Jordan adalah lanjutan dari eliminasi Gauss hingga membentuk matriks eselon baris tereduksi.

Langkah OBE Gancu digunakan untuk menghitung invers matriks 3×3 metode OBE. Selain itu juga digunakan untuk memudahkan langkah eliminasi Gauss Jordan.

SPL 3 Variabel Metode OBE Gancu

Langkah eliminasi yaitu g – d – h – i – c – f – e – b – a sehingga terbentuk matriks eselon baris tereduksi dan diperoleh nilai variabel x, y, dan z.

\Large \left [\left.\begin{matrix} 1 &0 &0 \\ 0 &1 &0 \\ 0 &0 &1 \end{matrix}\right|\begin{matrix} x\\ y\\ z \end{matrix}\right]

Contoh Soal

Contoh soal menggunakan contoh soal eliminasi Gauss.

Tentukan nilai x, y, dan z dari tiga sistem persamaan linear berikut ini!

SPL A

\vspace{1pc} -2x+5y-z=8 \\ \vspace{1pc} 3x-4y+2z=5 \\ x+5y-3z=6

SPL B

\vspace{1pc}x+y+2z=8 \\ \vspace{1pc} -x-2y+3z=1 \\ 3x+7y+4z=10

SPL C

\vspace{1pc}3x+y-z=2 \\ \vspace{1pc} 2x-y+z=3 \\ x+y+z=6

Penyelesaian:

Langkah 1 – 4 lihat penyelesaian contoh soal Eliminasi Gauss diatas.

  1. Ubah elemen menjadi satu dengan cara: \frac{elemen i}{elemen i}Eliminasi Gauss Jordan 3x3 5

  2. Ubah elemen menjadi nol menggunakan kunci elemen i.Eliminasi Gauss Jordan 3x3 6

  3. Ubah elemen menjadi nol menggunakan kunci elemen i.Eliminasi Gauss Jordan 3x3 7

  4. Ubah elemen  menjadi angka satu dengan cara: \frac{Elemen (e)}{Elemen(e)} = 1Eliminasi Gauss Jordan 3x3 8

  5. Ubah elemen menjadi nol menggunakan kunci elemen e.Eliminasi Gauss Jordan 3x3 8

  6. Ubah elemen  a menjadi angka satu dengan cara: \frac{Elemen (a)}{Elemen (a)} = 1Eliminasi Gauss Jordan 3x3 9

Sehingga diperoleh:

A. x = 2,55\; y = 0,525 \; z = -0,275

B. x = \frac{76}{9}     y =- \frac{26}{9}      z = \frac{11}{9}

C. x = 1     y = 2      z = 3

kesimpulan

Selanjutnya masih pembahasan serupa yaitu SPL 4 Variabel menggunakan eliminasi Gauss & Gauss Jordan 4×4.

SPL 3 Variabel: Cramer > Gauss & Gauss Jordan > SPL Homogen

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *