Metode Eliminasi Gauss & Gauss Jordan 3×3

Setelah membahas SPL 3 Variabel metode Cramer, pembahasan berikutnya adalah penyelesaian Sistem Persamaan Linear (SPL) 3 Variabel menggunakan eliminasi Gauss dan Gauss Jordan 3×3 dalam dua versi.

Pertama, artikel pembahasan reduksi baris/operasi baris elementer hingga diperoleh ketiga variabel.

Kedua, penjelasan urutan sistematis dalam video eliminasi Gauss dan Gauss Jordan 3×3.

SPL 3 Variabel

Bentuk umum:

\vspace{1pc} \Large a\sb1 x + b\sb1 y + c\sb1 z = p \\ \vspace{1pc} a\sb2 x + b\sb2 y + c\sb2 z = q \\ a\sb3 x + b\sb3 y + c\sb3 z = r

Ubah persamaan tersebut menjadi matriks augmentasi

\Large \left [\left.\begin{matrix} a &b &c \\ d &e &f \\ g &h &i \end{matrix}\right|\begin{matrix} p\\ q\\ r \end{matrix}\right]

Eliminasi Gauss

Eliminasi dimulai dari elemen g – d – h – a – e – i hingga terbentuk matriks eselon baris dan nilai variabel z.

\Large \left [\left.\begin{matrix} 1 &b &c \\ 0 &1 &f \\ 0 &0 &1 \end{matrix}\right|\begin{matrix} p\\ q\\ z \end{matrix}\right]

Langkah dilanjutkan dengan substitusi balik untuk mencari nilai variabel x dan y.

Contoh Soal

Contoh soal: Tentukan nilai x, y, dan z dari tiga sistem persamaan linear berikut ini!

SPL A

\vspace{1pc} -2x+5y-z=8 \\ \vspace{1pc} 3x-4y+2z=5 \\ x+5y-3z=6

SPL B

\vspace{1pc} x+y+2z=8 \\ \vspace{1pc} -x-2y+3z=1 \\ 3x+7y+4z=10

SPL C

\vspace{1pc} 3x+y-z=2 \\ \vspace{1pc} 2x-y+z=3 \\ x+y+z=6

Penyelesaian:

  1. Ubah  SPL diatas menjadi matriks augmentasi.Eliminasi Gauss Jordan 3x3 1
  2. Khusus untuk mengubah elemen g menjadi nol, kita bisa menggunakan kunci elemen a atau elemen d. Pilihlah elemen yang lebih mudah dihitung.Eliminasi Gauss Jordan 3x3 2
  3. Ubah elemen menjadi nol menggunakan kunci elemen a.Eliminasi Gauss Jordan 3x3 3
  4. Ubah elemen menjadi nol menggunakan kunci elemen e.Eliminasi Gauss Jordan 3x3 4
  5. Ubah elemen a, e, dan menjadi angka satu dengan cara: spl gauss1

Nilai variabel z

SPL A

z = -0,275

SPL B

z = \frac {11}{9}

SPL C

z = 3

Substitusi nilai z ke persamaan 2 (baris kedua)

SPL A

\vspace{1pc} y - \frac{7}{23} z = \frac{14}{23} \\ \vspace{1pc} y - \frac{7}{23}(-0,275) = \frac{14}{23} \\ y = 0,525

SPL B

\vspace{1pc} y - 5z = -9 \\ \vspace{1pc} y - 5(\frac {11}{9}) = -9 \\ y = -\frac {26}{9}

SPL C

y – z = -1

y – 3 = -1

y = 2

Substitusi nilai y dan z ke persamaan 1 (baris pertama)

SPL A

\vspace{1pc} x + \frac{5}{2} y - \frac{1}{2} z = 4 \\ \vspace{1pc} x + \frac{5}{2} (0,525) - \frac{1}{2} (-0,275) = 4 \\ x = 2,55

SPL B

\vspace{1pc}x + y + 2z = 8 \\ \vspace{1pc} x + (-\frac {26}{9}) + 2(\frac {11}{9}) = 8 \\ x = \frac {76}{9}

SPL C

\vspace{1pc} x + \frac{1}{3}y - \frac{1}{3}z = \frac{2}{3} \\ \vspace{1pc} x + \frac{1}{3}(2) - \frac{1}{3}(3) =\frac{2}{3} \\ x = 1

 




Eliminasi Gauss Jordan

Eliminasi Gauss Jordan adalah lanjutan dari eliminasi Gauss hingga membentuk matriks eselon baris tereduksi.

Langkah OBE Gancu digunakan untuk menghitung invers matriks 3×3 metode OBE. Selain itu juga digunakan untuk memudahkan langkah eliminasi Gauss Jordan.

SPL 3 Variabel Metode OBE Gancu

Langkah eliminasi yaitu g – d – h – i – c – f – e – b – a sehingga terbentuk matriks eselon baris tereduksi dan diperoleh nilai variabel x, y, dan z.

\Large \left [\left.\begin{matrix} 1 &0 &0 \\ 0 &1 &0 \\ 0 &0 &1 \end{matrix}\right|\begin{matrix} x\\ y\\ z \end{matrix}\right]

Contoh Soal

Contoh soal menggunakan contoh soal eliminasi Gauss.

Tentukan nilai x, y, dan z dari tiga sistem persamaan linear berikut ini!

SPL A

\vspace{1pc} -2x+5y-z=8 \\ \vspace{1pc} 3x-4y+2z=5 \\ x+5y-3z=6

SPL B

\vspace{1pc}x+y+2z=8 \\ \vspace{1pc} -x-2y+3z=1 \\ 3x+7y+4z=10

SPL C

\vspace{1pc}3x+y-z=2 \\ \vspace{1pc} 2x-y+z=3 \\ x+y+z=6

Penyelesaian:

Langkah 1 – 4 lihat penyelesaian contoh soal Eliminasi Gauss diatas.

  1. Ubah elemen menjadi satu dengan cara: \frac{elemen i}{elemen i}Eliminasi Gauss Jordan 3x3 5
  2. Ubah elemen menjadi nol menggunakan kunci elemen i.Eliminasi Gauss Jordan 3x3 6
  3. Ubah elemen menjadi nol menggunakan kunci elemen i.Eliminasi Gauss Jordan 3x3 7
  4. Ubah elemen  menjadi angka satu dengan cara: \frac{Elemen (e)}{Elemen(e)} = 1Eliminasi Gauss Jordan 3x3 8
  5. Ubah elemen menjadi nol menggunakan kunci elemen e.Eliminasi Gauss Jordan 3x3 8
  6. Ubah elemen  a menjadi angka satu dengan cara: \frac{Elemen (a)}{Elemen (a)} = 1Eliminasi Gauss Jordan 3x3 9

Sehingga diperoleh:

A. x = 2,55\; y = 0,525 \; z = -0,275

B. x = \frac{76}{9}     y =- \frac{26}{9}      z = \frac{11}{9}

C. x = 1     y = 2      z = 3

kesimpulan

Selanjutnya masih pembahasan serupa yaitu SPL 4 Variabel menggunakan eliminasi Gauss & Gauss Jordan 4×4.

SPL 3 Variabel: Cramer > Gauss & Gauss Jordan > SPL Homogen

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *