Invers Matriks Ordo 3×3

Halaman ini merupakan bagian pertama dari empat halaman yang membahas cara menentukan invers matriks 3×3 dengan empat cara berbeda.

Diantaranya Adjoin, cara cepat invers metode Minor rT7, dan dua cara invers matriks metode OBE.

Matriks Ordo 3×3

Yaitu matriks persegi dengan jumlah sembilan elemen, terdiri dari 3 baris dan 3 kolom, serta mempunyai bentuk umum:

\large A_{3\times3} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21}& a_{22} & a_{23} \\ a_{31}& a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}

Matriks 3×3 terbagi menjadi dua jenis matriks, yaitu:

  1. Matriks Singular adalah matriks yang nilai determinannya nol dan matriks ini tidak mempunyai invers matriks.
  2. Matriks Non-singular yaitu matriks dengan nilai determinan tidak sama dengan nol dan mempunyai invers matriks.

Langkah Menghitung Invers Matriks 3×3

  1. Minor
  2. Kofaktor
  3. Adjoin
  4. Determinan

Sebagian orang mengenal cara mencari invers matriks ordo 3×3 ini dengan sebutan metode Adjoin. Karena hanya Adjoin yang berbeda, sedangkan tiga langkah lainnya identik dengan determinan.

  1. Minor

Minor adalah determinan submatriks persegi setelah salah satu baris dan kolomnya dihilangkan. Biasa dilambangkan dengan “Mij” dimana i sebagai baris dan j sebagai kolom matriks.

Pembahasan dan cara lengkap menentukan minor matriks 3×3 sudah saya jelaskan dalam determinan matriks 3×3 metode ekspansi kofaktor.

Jadi, kali ini saya menuliskan minor untuk sembilan elemen matriks.

\large A_{3\times3} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21}& a_{22} & a_{23} \\ a_{31}& a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}

Maka, minor dari tiap elemen yaitu:

\vspace{1pc} \left | M_{11} \right | = \begin{bmatrix} a_{22} &a_{23} \\ a_{32} &a_{33} \end{bmatrix} \\ \left | M_{11} \right | = a_{22}a_{33}- a_{23}a_{32} \vspace{1pc}\left | M_{12} \right | = \begin{bmatrix} a_{21} &a_{23} \\ a_{31} &a_{33} \end{bmatrix} \\ \left | M_{12} \right |= a_{21}a_{33}- a_{23}a_{31} \vspace{1pc} \left | M_{13} \right | = \begin{bmatrix} a_{21} &a_{22} \\ a_{31} &a_{32} \end{bmatrix} \\ \left | M_{13} \right |= a_{21}a_{32}- a_{22}a_{31}
\vspace{1pc}\left | M_{21} \right | = \begin{bmatrix} a_{12} &a_{13} \\ a_{32} &a_{33} \end{bmatrix} \\ \left | M_{21} \right |= a_{12}a_{33}- a_{13}a_{32} \vspace{1pc} \left | M_{22} \right | = \begin{bmatrix} a_{11} &a_{13} \\ a_{31} &a_{33} \end{bmatrix} \\ \left | M_{22} \right |= a_{11}a_{33}- a_{13}a_{31} \vspace{1pc} \left | M_{23} \right | = \begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{31} &a_{32} \end{bmatrix} \\ \left | M_{23} \right |= a_{11}a_{33}- a_{12}a_{32}
\vspace{1pc} \left | M_{31} \right | = \begin{bmatrix} a_{12} &a_{13} \\ a_{22} &a_{23} \end{bmatrix} \\ \left | M_{31} \right |= a_{12}a_{33}- a_{13}a_{22} \vspace{1pc} \left | M_{32} \right | = \begin{bmatrix} a_{11} &a_{13} \\ a_{21} &a_{23} \end{bmatrix} \\ \left | M_{32} \right |= a_{11}a_{23}- a_{13}a_{21} \vspace{1pc} \left | M_{33} \right | = \begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{21} &a_{22} \end{bmatrix} \\ \left | M_{33} \right |= a_{11}a_{22}- a_{12}a_{21}

Setelah sembilan minor dihitung maka terbentuk matriks baru, yaitu:

\large M_{3\times3} = \begin{bmatrix} M_{11} & M_{12} & M_{13} \\ M_{21}& M_{22} & M_{23} \\ M_{31}& M_{32} & M_{33} \end{bmatrix}

  1. Kofaktor

Kofaktor adalah hasil kali antara elemen minor dengan (-1)^{i+j}.

Hasilnya nilai dari setiap elemen minor berubah menjadi positif atau negatif.

M_{11} (-1)^{1+1} = M_{11} M_{12} (-1)^{1+2} = -M_{12} M_{13} (-1)^{1+3} = M_{13}
M_{21} (-1)^{2+1} = -M_{21} M_{22} (-1)^{2+2} = M_{22} M_{23} (-1)^{2+3} = -M_{23}
M_{31} (-1)^{3+1} = M_{31} M_{32} (-1)^{3+2} = -M_{32}  M_{33} (-1)^{3+3} = M_{33}

Sehingga diperoleh matriks kofaktor

\large K_{3\times3} = \begin{bmatrix} M_{11} & -M_{12} & M_{13} \\ -M_{21}& M_{22} & -M_{23} \\ M_{31}& -M_{32} & M_{33} \end{bmatrix}

  1. Adjoin

Adjoin diperoleh dari mentranspose matriks kofaktor dengan cara merubah baris menjadi kolom dan sebaliknya.

Ada cara lain dalam mentranspose matriks 3×3 yaitu gunakan diagonal utama sebagai sumbu putar, kemudian putar berlawanan arah jarum jam dan didapatlah Adjoin!

Adjoin matriks 3x3

Maka didapat matriks

 Adj K_{3\times3} = \begin{bmatrix} M_{11} & -M_{21} & M_{31} \\ -M_{12}& M_{22} & -M_{32} \\ M_{13}& -M_{23} & M_{33} \end{bmatrix}

  1. Determinan

Ada beberapa cara menghitung determinan matriks 3×3 seperti Sarrus, Ekspansi Kofaktor dan Operasi Baris Elementer (OBE). Namun, yang paling sering digunakan adalah metode Sarrus.

\vspace{1pc} \large A_{3\times3} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21}& a_{22} & a_{23} \\ a_{31}& a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \\ \left | A \right | = (a_{11} a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}) - (a_{13} a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{21}a_{33})

Seharusnya determinan dihitung pertama kali sebelum menghitung Minor, Kofaktor, dan Adjoin. Karena jika nilai determinannya = 0 maka matriks tidak mempunyai invers.

5. Rumus Invers

Rumus invers matriks 3×3, yaitu:

\vspace{1pc} \large A^{-1}=\frac{1}{\left | A \right |}Adj K \\ A^{-1} = \begin{bmatrix} \vspace{1pc} \frac{M_{11}}{\left | A \right |} & -\frac{M_{21}}{\left | A \right |} & \frac{M_{31}}{\left | A \right |} \\ \vspace{1pc} -\frac{M_{12}}{\left | A \right |}& \frac{M_{22}}{\left | A \right |} & -\frac{M_{32}}{\left | A \right |} \\ \frac{M_{13}}{\left | A \right |}& -\frac{M_{23}}{\left | A \right |} & \frac{M_{33}}{\left | A \right |} \end{bmatrix}

Contoh Soal

Tentukan invers matriks berikut ini!

\large A=\begin{bmatrix} -2 &4 &-5 \\ 1&3 &-7 \\ 0&4 &-8 \end{bmatrix}

Penyelesaian:

Determinan dihitung pertama kali untuk mengetahui matriks A mempunyai invers matriks atau tidak.

Determinan

Contoh Soal Determinan Matriks 3x3 Metode Sarrus

\vspace{1pc} \large Det A=(-2\times3\times-8)+(4\times-7\times0)+(-5\times1\times4)-((-5\times3\times0)+(-2\times-7\times4)+(4\times1\times-8) \\ \vspace{1pc} \left | A \right | =(48+0-20)-(0+56-32) \\ \left | A \right | =28-24=4

Karena determinan ≠ 0 maka matriks A memiliki invers.

Minor

Contoh Soal Minor Invers Matriks 3x3

\vspace{1pc} \large Minor\,a=\begin{bmatrix} 3&-7 \\ 4 &-8 \end{bmatrix}=(3)(-8)-(-7)(4)=4 \\ \vspace{1pc} Minor\,b=\begin{bmatrix} 1&-7 \\ 0 &-8 \end{bmatrix}=(1)(-8)-(-7)(0)=-8\\ \vspace{1pc} Minor\,c=\begin{bmatrix} 1&3 \\  0&4 \end{bmatrix}=(1)(4)-(3)(0)=4 \\ \vspace{1pc} Minor\,d=\begin{bmatrix} 4&-5 \\ 4 &-8 \end{bmatrix}=(4)(-8)-(-5)(4)=-12 \\ \vspace{1pc} Minor\,e=\begin{bmatrix} -2&-5 \\ 0 &-8 \end{bmatrix}=(-2)(-8)-(-5)(0)=16 \\ \vspace{1pc} Minor\,f=\begin{bmatrix} -2&4 \\  0&4 \end{bmatrix}=(-2)(4)-(4)(0)=-8 \\ \vspace{1pc} Minor\,g=\begin{bmatrix} 4&-5 \\ 3 &-7 \end{bmatrix}=(4)(-7)-(-5)(3)=-13 \\ \vspace{1pc} Minor\,h=\begin{bmatrix} -2&-5 \\ 1 &-7 \end{bmatrix}=(-2)(-7)-(-5)(1)=19 \\ \vspace{1pc} Minor\,i=\begin{bmatrix} -2&4 \\  1&3 \end{bmatrix}=(-2)(3)-(4)(1)=-10 \\ \vspace{1pc} \\ Minor\,A =\begin{bmatrix} 4 &-8 &4 \\ -12 &16 &-8 \\ -13 &19 & 10 \end{bmatrix}

Kofaktor

Contoh soal Kofaktor Invers Matriks 3x3

\large Kofaktor\,A=\begin{bmatrix} 4 & 8 &4 \\ 12& 16 &8  \\ -13 &-19 & -10 \end{bmatrix}

Adjoin

Contoh soal Adjoin Invers Matriks 3x3

\large Adj\,A=\begin{bmatrix} 4 & 12 &-13 \\ 8& 16 &-19 \\ 4 &8 & -10 \end{bmatrix}

Invers Matriks

\vspace{1pc} \large A^{-1}=\frac{1}{Det A} Adj A \\ \vspace{1pc} A^{-1}=\frac{1}{4}\begin{bmatrix} 4 & 12 &-13 \\ 8& 16 &-19  \\ 4 &8 & -10 \end{bmatrix} \\ \vspace{1pc} A^{-1}=\begin{bmatrix} \frac{4}{4} & \frac{12}{4} &\frac{-13}{4} \\ \frac{8}{4}& \frac{16}{4} &\frac{-19}{4}  \\ \frac{4}{4} &\frac{8}{4} & \frac{-10}{4} \end{bmatrix} \\ A^{-1}=\begin{bmatrix} 1 & 3 &\frac{-13}{4} \\ 2& 4 &\frac{-19}{4} \\ 1 &2 & \frac{-5}{2} \end{bmatrix}

Penyelesaian invers metode Adjoin lebih detail dan sistematis. Jika kelima langkah digabungkan dan dimodifikasi bisa ditemukan cara cepat invers matriks 3×3 metode Minor rT7.

Invers Matriks 3×3: Adjoin > Minor r T 7 > OBE Gancu > OBE Ganjil

Tinggalkan Balasan