Perkalian Matriks dengan Trik Pensil

Cara menghitung perkalian matriks dengan matriks kelihatannya mudah.

Tapi pada saat mengerjakan lumayan rumit, butuh kesabaran, dan ketelitian, agar tidak salah/tertukar dalam mengalikan elemen matriks.

Karena itu, saya tawarkan trik sederhana untuk mempermudah proses perkalian dan mengurangi kesalahan perhitungan.

Perkalian Matriks Cara Baris x Kolom

Contohnya:

\large \begin{bmatrix} a &b &c \\ d &e &f \\ g &h &i \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} j &k &l \\ m &n &o \\ p &q &r \end{bmatrix}=

Cara mengalikannya yaitu:

Perkalian Matriks cara Baris Kolom

Perkalian baris pertama masih mudah, tapi untuk baris berikutnya jadi sedikit rumit.

Lalu adakah cara perkalian yang lebih mudah?

Perkalian Trik Pensil

Saya perkenalkan trik mudah perkalian matriks menggunakan “pensil ”, yaitu…

Tulis elemen tiap baris matriks sebelah kiri diantara dua matriks menggunakan pensil”

Contoh perkalian matriks 3×3 dengan matriks 3×3

\large \begin{bmatrix} a &b &c \\ d &e &f \\ g &h &i \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} j &k &l \\ m &n &o \\ p &q &r \end{bmatrix}=

Langkah perkalian matriks “Pensil”:

  1. Baris pertama yaitu a, b, dan c ditulis secara vertikal diantara dua matriks, kemudian kalikan seperti perkalian cara baris kolom.\large \begin{bmatrix} a &b &c \\ d &e &f \\ g &h &i \end{bmatrix} . \begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix} \begin{bmatrix} j &k &l \\ m &n &o \\ p &q &r \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} (aj+bm+cp) &(ak+bn+cq) &(al+bo+cr) \\  & & \\  & & \end{bmatrix}
  2. Tulis baris kedua d, e, dan f, lalu kalikan tiap elemen.\large \begin{bmatrix} a &b &c \\ d &e &f \\ g &h &i \end{bmatrix} . \begin{matrix} d \\ e \\ f \end{matrix} \begin{bmatrix} j &k &l \\ m &n &o \\ p &q &r \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} (aj+bm+cp) &(ak+bn+cq) &(al+bo+cr) \\ (dj+em+fp) &(dk+en+fq) &(dl+eo+fr) \\  & & \end{bmatrix}
  3. Tulis baris ketiga g, h, dan i, lalu kalikan tiap elemen.\large \begin{bmatrix} a &b &c \\ d &e &f \\ g &h &i \end{bmatrix} . \begin{matrix} g \\ h \\ i \end{matrix} \begin{bmatrix} j &k &l \\ m &n &o \\ p &q &r \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} (aj+bm+cp) &(ak+bn+cq) &(al+bo+cr) \\  (dj+em+fp) &(dk+en+fq) &(dl+eo+fr) \\ (gj+hm+ip) &(gk+hn+iq) &(gl+ho+ir \end{bmatrix}

Karena posisi elemen yang sejajar, misalnya baris pada baris pertama

  • sejajar dengan j, k, dan l
  • b sejajar dengan m, n, dan o
  • c sejaar dengan p, q, dan r

Sehingga memudahkan dan mengurangi kesalahan dalam mengalikan.

Selain itu, cara perkalian matriks “Pensil”  sama dengan cara perkalian matriks biasa.

Syarat Perkalian Matriks

Trik ini dengan mudah mengetahui apakah dua matriks memenuhi syarat perkalian atau tidak?

Contoh 2: Perkalian matriks 2×3 dengan 2×2

C2×3 x D2×2

\large \begin{bmatrix} 1 &2 &3 \\ 4 &5 &6 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} 7 &8 \\ 9 &-1 \end{bmatrix}=

Tulis dengan pensil elemen baris pertama diantara dua matriks.

\large \begin{bmatrix} 1 &2 &3 \\ 4 &5 &6 \end{bmatrix} . \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \begin{bmatrix} 7 &8 \\ 9 &-1 \end{bmatrix}=

Seperti yang terlihat elemen 3 tidak mempunyai “lawan perkalian”.

Maka kedua matriks tidak dapat dikalikan.




Contoh Soal

Trik ini juga bisa digunakan untuk…

perkalian matriks kolom dan baris, perkalian matriks baris dan kolom, dan perkalian matriks dengan ordo yang berbeda lainnya.

Perkalian matriks 2×2 dengan 2×3

Contoh: A2×2 x B2×3

\large \begin{bmatrix} 1 &2 \\ 3 &4 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} 5 &6 &7 \\ 8 &9 &10 \end{bmatrix}=

  1. Tulis dengan pensil elemen baris pertama diantara dua matriks.Perkalian Matriks 2x2 dengan 2x3 Baris 1
  2. Hapus baris pertama dan tulis baris kedua.Perkalian Matriks 2x2 dengan 2x3 Baris 2
  3. Hapus baris kedua, maka

\large \begin{bmatrix} 1 &2 \\ 3 &4 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} 5 &6 &7 \\ 8 &9 &10 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 21 &24 &27 \\ 47 &54 &61 \end{bmatrix}

Perkalian matriks baris dengan matriks kolom

Contoh: E1×4 x F4×1

\large \begin{bmatrix} 1 &2 &3 &4\end{bmatrix} . \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \\ 7 \\ 8 \end{bmatrix}=

  1. Tuliskan elemen baris pertama diantara dua matriks.Perkalian Matriks 1x4 dengan 4x1 Baris 1
  2. Hapus baris pertama, maka

\large \begin{bmatrix} 1 &2 &3 &4\end{bmatrix} . \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \\ 7 \\ 8 \end{bmatrix}=70

Perkalian matriks kolom dengan matriks baris

Contoh: G2×1 x H1×5

\large \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} 3 &4 &5 &6 &7\end{bmatrix}=

  1. Tulis baris pertama diantara dua matriks.Perkalian Matriks 2x1 dengan 1x5 Baris 1
  2. Hapus baris pertama dan tulis baris kedua.Perkalian Matriks 2x1 dengan 1x5 Baris 2
  3. Hapus baris kedua, maka

\large \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} 3 &4 &5 &6 &7 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3 &4 &5 &6 &7 \\ 6 &8 &10 &12 & 14 \end{bmatrix}

Perkalian matriks lainnya

Contoh 1: I2×3 x J3×2

\large \begin{bmatrix} 1 &2 &3 \\ 4 &5 &6 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} 7 &8 \\ 9 &-1 \\ -2 &-3\end{bmatrix}=

  1. Tulis baris pertama diantara dua matriks.Perkalian Matriks 2x3 dengan 3x2 Baris 1
  2. Hapus baris pertama dan tulis baris kedua.Perkalian Matriks 2x3 dengan 3x2 Baris 2
  3. Hapus baris kedua, maka

\large \begin{bmatrix} 1 &2 &3 \\ 4 &5 &6 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} 7 &8 \\ 9 &-1 \\ -2 &-3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 19 &-3 \\ 61 &9 \end{bmatrix}

Contoh 2: K3×2 x L2×3

\large \begin{bmatrix} 1 &2 \\ 3 &4 \\ 5 &6 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} 7 &8 &9 \\ -1 &-2 &-3 \end{bmatrix}=

  1. Tulis baris pertama diantara dua matriks menggunakan pensil.Perkalian Matriks 3x2 dengan 2x3 Baris 1
  2. Hapus baris pertama dan tulis baris kedua.Perkalian Matriks 3x2 dengan 2x3 Baris 2
  3. Hapus baris kedua dan tulis baris ketiga.Perkalian Matriks 3x2 dengan 2x3 Baris 3
  4. Hapus baris ketiga, maka

\large \begin{bmatrix} 1 &2 \\ 3 &4 \\ 5 &6 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} 7 &8 &9 \\ -1 &-2 &-3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5 &4 &3 \\ 17 &16 &15 \\ 29 &28 &27 \end{bmatrix}

Contoh 3: M3×3 x N3×3

\large \begin{bmatrix} 1 &2 &3 \\ 4 &5 &6 \\ 7 &8 &9 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} -1 &-2 &-3 \\ -4 &-5 &-6 \\ -7 &-8 &-9 \end{bmatrix}=

  1. Tulis baris pertama diantara dua matriks.

Perkalian Matriks 3x3 dengan 3x3 Baris 1\large 1\times-1+2\times-4+3\times-7= -30 \\ 1\times-2+2\times-5+3\times-8 = -36 \\ 1\times-3+2\times-6+3\times-9 = -42

2. Hapus baris pertama dan tulis baris kedua.

Perkalian Matriks 3x3 dengan 3x3 Baris 2\large 4\times-1+5\times-4+6\times-7 = -66 \\ 4\times-2+5\times-5+6\times-8 = -81 \\ 4\times-3+5\times-6+6\times-9 = -96

3. Hapus baris kedua dan tulis baris ketiga.

Perkalian Matriks 3x3 dengan 3x3 Baris 3\large 7\times-1+8\times-4+9\times-7 = -102 \\ 7\times-2+8\times-5+9\times-8 = -126 \\ 7\times-3+8\times-6+9\times-9 = -150

4. Hapus baris ketiga, maka

\begin{bmatrix} 1 &2 &3 \\ 4 &5 &6 \\ 7 &8 &9 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} -1 &-2 &-3 \\ -4 &-5 &-6 \\ -7 &-8 &-9 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -30 &-36 &-42 \\ -66 &-81 &-96 \\ -102 &-126 &-150 \end{bmatrix}

Contoh 8: Perkalian matriks 4×4 dengan 4×4

O4×4 x P4×4

\begin{bmatrix} 1 &2 &3 &4 \\ 5 &6 &7 &8 \\ 9 &-1 &-2 &-3 \\ -4 &-5 &-6 &-7 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} -8 &-9 &1 &2 \\ 3 &4 &5 &6 \\ 7 &8 &9 &-1 \\ -2 &-3 &-4 &-5 \end{bmatrix}=

  1. Tulis baris pertama diantara dua matriks.

Perkalian Matriks 4x4 dengan 4x4 Baris 1\large 1\times-8+2\times3+3\times7+4\times-2 = 11 \\ 1\times-9+2\times4+3\times8+4\times-3 = 11 \\ 1\times1+2\times5+3\times9+4\times-4 = 22 \\ 1\times2+2\times6+3\times-1+4\times-5 = -9

2. Hapus baris pertama dan tulis baris kedua.

Perkalian Matriks 4x4 dengan 4x4 Baris 2\large 5\times-8+6\times3+7\times7+8\times-2 = 11  \\ 5\times-9+6\times4+7\times8+8\times-3 = 11 \\ 5\times1+6\times5+7\times9+8\times-4 = 66 \\ 5\times2+6\times6+7\times-1+8\times-5 = -1

3. Hapus baris kedua dan tulis baris ketiga.

Perkalian Matriks 4x4 dengan 4x4 Baris 3\large 9\times-8+(-1)\times3+(-2)\times7+(-3)\times-2 = -95 \\ 9\times-9+(-1)\times4+(-2)\times8+(-3)\times-3 = -92 \\ 9\times1+(-1)\times5+(-2)\times9+(-3)\times-4 = -2 \\ 9\times2+(-1)\times6+(-2)\times-1+(-3)\times-5 = 29

4. Hapus baris ketiga dan tulis baris keempat

Perkalian Matriks 4x4 dengan 4x4 Baris 4\large -4\times-8+(-5)\times3+(-6)\times7+(-7)\times-2 = -11 \\ -4\times-9+(-5)\times4+(-6)\times8+(-7)\times-3 = -11 \\ -4\times1+(-5)\times5+(-6)\times9+(-7)\times-4 = -55 \\ -4\times2+(-5)\times6+(-6)\times-1+(-7)\times-5 = 3

5. Hapus baris keempat, maka

\large \begin{bmatrix} 1 &2 &3 &4 \\ 5 &6 &7 &8 \\ 9 &-1 &-2 &-3 \\ -4 &-5 &-6 &-7 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} -8 &-9 &1 &2 \\ 3 &4 &5 &6 \\ 7 &8 &9 &-1 \\ -2 &-3 &-4 &-5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 11 &11 &22 &9 \\ 11 &11 &66 &-1 \\ -95 &-92 &-2 &29 \\ -11 &-11 &-55 &3 \end{bmatrix}

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *