SPL 3 Variabel: Cramer, Gauss & Gauss Jordan, dan Homogen

Ada dua metode penyelesaian Sistem Persamaan Linear 3 variabel, yaitu:

  1. Metode Cramer
  2. Eliminasi Gauss & Gauss Jordan

Sedangkan Homogen bukanlah metode, melainkan jenis SPL yang nilai konstannya nol semua.

Metode penyelesaiannya dan solusi yang diperoleh sedikit berbeda, yaitu menggunakan parameter.

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Bentuk SPL 3 variabel biasanya menggunakan variabel x, y, dan z.

\vspace{1pc} \large a\sb1 x + b\sb1 y + c\sb1 z = p \\ \vspace{1pc} a\sb2 x + b\sb2 y + c\sb2 z = q \\ a\sb3 x + b\sb3 y + c\sb3 z = r

Namun, ada juga yang menggunakan variabel x1, x2, dan x3.

\vspace{1pc} \large a\sb1 x\sb1 + b\sb1 x\sb2 + c\sb1 x\sb3 = p \\ \vspace{1pc} a\sb2 x\sb1 + b\sb2 x\sb2 + c\sb2 x\sb3= q \\ a\sb3 x\sb1 + b\sb3 x\sb2 + c\sb3 x\sb2 = r

Metode Cramer

Metode Cramer PDF ibarat determinan.

Bayangkan untuk memperoleh solusi SPL yaitu nilai variabel x, y, dan z, kita harus menghitung empat determinan matriks.

Jadi, sebaiknya pahami dulu salah satu cara menentukan nilai determinan matriks 3×3, seperti metode Sarrus, Ekspansi Kofaktor, dan OBE.

Ada 5 langkah penyelesaian SPL 3 variabel metode Cramer, yaitu:

  1. Ubah SPL 3 variabel menjadi matriks

Sebagai contoh pembahasan menggunakan variabel x, y, dan z.

SPL 3 variabel metode Cramer

Koefisien amenjadi a, b1 menjadi b, dan c1 menjadi c.

Koefisien a2 menjadi d, b2 menjadi e, dan c2 menjadi f, dst.

Jika diuraikan lagi, maka matriks tersebut terdiri dari beberapa bagian, yaitu:

SPL 3 variabel metode Cramer

2. Hitung nilai determinan A.

3. Nilai variabel x

a. Ganti kolom pertama dengan nilai ruas kanan (p, q, dan r) sehingga menjadi matriks x.

SPL 3 variabel metode Cramer

b. Hitung nilai determinan x.

c. Hitung nilai variabel x dengan cara: \large x = \frac{Det x}{Det A}

4. Nilai variabel y

a. Ganti kolom kedua dengan nilai ruas kanan sehingga menjadi matriks y.

SPL 3 variabel metode Cramer

b. Hitung nilai determinan y.

c. Hitung nilai variabel y dengan cara: \large y = \frac{Det y}{Det A}

5. Nilai variabel z

a. Ganti kolom ketiga dengan nilai ruas kanan sehingga menjadi matriks z.

SPL 3 variabel metode Cramer

b. Hitung nilai determinan z.

c. Hitung nilai variabel z dengan cara: \large z = \frac{Det z}{Det A}

Contoh Soal

Saya akan menyelesaikan tiga contoh soal SPL 3 variabel menggunakan metode Cramer.

Tanpa menjelaskan cara menghitung nilai determinan matriks 3×3.

Contoh: Tentukan nilai variabel dari tiga sistem persamaan linear berikut!

\vspace{1pc} -2x+4y-5z=-30 \\ \vspace{1pc} x+4y-7z=-29 \\ -x+4y+8z=25

\vspace{1pc} x+y+2z=3 \\ \vspace{1pc} -x-2y+3z=-18 \\ 3x+7y+4z=33

\vspace{1pc} 3x+y-z=2 \\ \vspace{1pc} 2x-y+z=3 \\ x+y+z=6

.Penyelesaian:

  1. Ubah SPL 3 variabel menjadi matriks.
    \large \left [\left.\begin{matrix} -2 &4 &-5 \\ 1 &4 &-7 \\ -1 &4 &8 \end{matrix}\right|\begin{matrix} -30\\ -29\\ 25 \end{matrix}\right]

    \large \left [\left.\begin{matrix} 1 &1 &2 \\ -1 &-2 &3 \\ 3 &7 &4 \end{matrix}\right|\begin{matrix} 3\\ -18\\ 33 \end{matrix}\right]

    \large \left [\left.\begin{matrix} 3 &1 &-1 \\ 2 &-1 &1 \\ 1 &1 &1 \end{matrix}\right|\begin{matrix} 2\\ 3\\ 6 \end{matrix}\right]

  2. Hitung nilai determinan A, B, dan C.SPL 3 variabel metode Cramer
  3. Nilai variabel x

a. Ganti kolom pertama dengan nilai ruas kanan (p, q, dan r) sehingga menjadi matriks x.SPL 3 variabel metode Cramer

b. Hitung nilai determinan x.SPL 3 variabel metode Cramer

c. Hitung nilai variabel x dengan cara:SPL 3 variabel metode Cramer

4. Nilai variabel y

a. Ganti kolom kedua dengan nilai ruas kanan sehingga menjadi matriks y.SPL 3 variabel metode Cramer

b. Hitung nilai determinan y.SPL 3 variabel metode Cramer

c. Hitung nilai variabel y dengan cara:SPL 3 variabel metode Cramer

5. Nilai variabel z

a. Ganti kolom ketiga dengan nilai ruas kanan sehingga menjadi matriks z.SPL 3 variabel metode Cramer

b. Hitung nilai determinan z.SPL 3 variabel metode Cramer

c. Hitung nilai variabel z dengan cara:SPL 3 variabel metode Cramer

Sehingga nilai variabel SPL, yaitu:

A. x = 3,  y = -1,  z= 4

B. x = 2,  y = 5,  z= -2

C.  x =1,  y = 2,  z= 3

Artikel selanjutnya akan mengetahui lebih lanjut tentang eliminasi Gauss dan Gauss Jordan, matriks eselon baris dan eselon baris tereduksi.

SPL 3 Variabel: Cramer > Gauss & Gauss Jordan > SPL Homogen

Tinggalkan Balasan