4 Langkah Determinan Matriks 4×4 Metode OBE

Tiga cara menghitung determinan matriks 4×4 yaitu:

  1. Metode OBE 4×4
  2. Metode Sarrus 4×4
  3. Metode Kofaktor 4×4

Metode OBE Pdf yang dibahas kali ini berkaitan dengan eliminasi Gauss, sifat-sifat determinan, dan matriks segitiga atas/bawah.

Beberapa materinya sebagian sudah terukir di determinan matriks 3×3 metode OBE.

Tapi saya yakin kamu malas untuk membaca beberapa artikel sekaligus, karena itu saya tulis ulang saja materinya.

Unsur Matriks

\large A= \begin{bmatrix}a11 &a12 &a13 &a14 \\a21 &a22 &a23 &a24 \\a31 &a32 &a33 &a34 \\a41 &a42 &a43 &a44 \end{bmatrix}

Seperti sebelumnya, nama elemen menggunakan huruf a – p, sehingga matriks A:

\large A = \begin{bmatrix}a &b &c &d \\e&f &g &h \\i &j &k &l \\m &n &o &p \end{bmatrix}

Sifat-sifat Determinan

Sifat-sifat determinan yang berkaitan dengan OBE matriks, yaitu:

  • Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan dari matriks A setelah salah satu barisnya dijumlahkan atau dikurangi dengan baris atau kelipatan baris lainnya, maka determinan A’ = determinan A.
  • Jika matriks A sembarang merupakan matriks segitiga (atas, bawah) atau diagonal, maka determinan A = hasil kali elemen-elemen diagonal utamanya.

Seperti yang saya bilang (tulis) sebelumnya bahwa ada beberapa sifat lain yang bisa digunakan.

Tapi akibatnya ya…itu membingungkan.

Maka, satu aturan/rumus determinan obe matriks saja yang digunakan, yaitu:

Menjumlahkan atau mengurangi satu baris dengan baris atau kelipatan baris lainnya”

Contoh rumus:

\large R1 - R4

\large R2 + 4R3

\large R3 + \frac{1}{4}R2

\large R4-\frac{5}{3}R1

Perhatikan pola rumusnya:

  • Baris di sebelah kiri operasi penjumlahan atau pengurangan tidak boleh dikali atau dibagi dengan konstanta.
  • Baris di sebelah kanan operasi penjumlahan atau pengurangan boleh dikali atau dibagi dengan konstanta.

Kunci

Tidak bosan-bosan saya sampaikan hal ini berkali-kali.

Kunci OBE adalah….elemen diagonal utama matriks yaitu elemen a, f, k, dan p.

OBE kunci matriks 4x4

Misalnya untuk membuat elemen m menjadi nol, maka rumus OBE harus melibatkan elemen a sebagai kunci kolom pertama.

Contoh penerapannya akan lebih jelas dalam contoh perhitungan determinan selanjutnya.





Matriks Segitiga Atas

Yaitu matriks persegi yang elemen-elemen aij = 0, dengan i > j.

Atau elemen e, i, m, j, n, dan o yang berisi angka nol.

Determinan OBE Matriks Segitiga Atas:

“Merubah matriks menjadi matriks segitiga atas, kemudian determinan diperoleh dari perkalian elemen diagonal utama”.

Matriks Segitiga Atas 4x4

Contoh Soal

Contoh soal: hitunglah determinan dari matriks berikut ini!

\large A = \begin{bmatrix}2 &-1 &3 &-1 \\-1&-2 &-1 &-1 \\3 &3 &1 &3 \\-2 &2 &-2 &2 \end{bmatrix} \large B = \begin{bmatrix}2 &-1 &5 &11 \\2&8 &9 &8 \\4 &-11 &-10 &-7 \\-2 &4 &7 &6 \end{bmatrix}

Penyelesaian:

  1. Ubah elemen e, i, dan menjadi nol menggunakan kunci elemen a.determinan matriks 4x4 metode OBE langkah 1
  2. Ubah elemen j dan n menjadi nol menggunakan kunci elemen f.determinan matriks 4x4 metode OBE langkah 2
  3. Ubah elemen menjadi nol menggunakan kunci elemen k.determinan matriks 4x4 metode OBE langkah 3
  4. Maka,

Det A \large = (2)(-2,5)(-2,6)(\frac{16}{13}) = 16

Det B \large = (2)(9)(-16)(\frac{-10}{3}) = 960

Matriks Segitiga Bawah

Yaitu matriks persegi yang elemen-elemen aij = 0, dengan i < j.

Atau elemen b, c, d, g, h, dan l yang berisi angka nol.

Determinan OBE Matriks Segitiga Bawah:

“Merubah matriks menjadi matriks segitiga bawah, kemudian determinan diperoleh dari perkalian elemen diagonal utama”.

Matriks Segitiga Bawah 4x4

Contoh Soal

Menggunakan contoh soal yang sama dengan contoh soal determinan matriks segitiga atas.

Hitunglah determinan dari matriks berikut ini!

\large A = \begin{bmatrix}2 &-1 &3 &-1 \\-1&-2 &-1 &-1 \\3 &3 &1 &3 \\-2 &2 &-2 &2 \end{bmatrix} \large B = \begin{bmatrix}2 &-1 &5 &11 \\2&8 &9 &8 \\4 &-11 &-10 &-7 \\-2 &4 &7 &6 \end{bmatrix}

Penyelesaian:

  1. Ubah elemen d, h, dan menjadi nol menggunakan kunci elemen p.determinan matriks 4x4 metode OBE langkah 1
  2. Ubah elemen dan menjadi nol menggunakan kunci elemen k.determinan matriks 4x4 metode OBE langkah 2
  3. Ubah elemen b menjadi nol menggunakan kunci elemen f.determinan matriks 4x4 metode OBE langkah 3
  4. Maka,

Det A \large = (-2)(-1)(4)(2 )= 16

Det B \large = (-\frac{160}{7})(\frac{42}{11})(-\frac{11}{6})(6) = 960

Selanjutnya

Berikutnya metode determinan ini mempunyai ciri khas pola perkalian menyilang.

Determinan Matriks 4×4: OBE > Sarrus

Satu tanggapan untuk “4 Langkah Determinan Matriks 4×4 Metode OBE

  • 14 Oktober 2016 pada 21:48
    Permalink

    apa bedanya rumus yang digunakan untuk mencari det A atau det B pada setiap langkah??? jika di coba keduanya, apakah jawabannya sama???

    Balas
    • 14 Oktober 2016 pada 23:35
      Permalink

      Rumus tiap langkah det A berbeda dengan rumus det B.

      Karena untuk membuat elemen matriks menjadi nol/satu, setiap elemen matriks mempunyai rumus masing-masing.

      Yang perlu diperhatikan adalah pola urutan elemen yang diubah jadi nol/satu dan pola rumus.

      Jika rumus tiap langkah matriks A ditukar dengan matriks B, maka tidak akan terbentuk matriks segitiga atas/bawah.

      Dan tidak bisa dihitung nilai determinan.

      Balas

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *